Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68038 / 68451
↖ ↑ ↗
← S  7.980358°
E  6.871948°		 ← 302.47 m → S  7.980358°
E  6.874695°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  7.983078°
E  6.871948°		 ← 302.47 m →
91 475 m²		 S  7.983078°
E  6.874695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519092559814453 y=0.522243499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519092559814453 × 217)
    floor (0.519092559814453 × 131072)
    floor (68038.5)     		tx = 68038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522243499755859 × 217)
    floor (0.522243499755859 × 131072)
    floor (68451.5)     		ty = 68451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68038 / 68451 ti = "17/68038/68451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68038/68451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68038 ÷ 217
    68038 ÷ 131072     		x = 0.519088745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68451 ÷ 217
    68451 ÷ 131072     		y = 0.522239685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519088745117188 × 2 - 1) × π
    0.038177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11993812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522239685058594 × 2 - 1) × π
    -0.0444793701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.139736062392464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11993812} λ = 0.11993812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139736062392464))-π/2
    2×atan(0.869587722015291)-π/2
    2×0.715756404322733-π/2
    1.43151280864547-1.57079632675     		φ = -0.13928352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11993812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13928352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.980358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68038 KachelY 68451 0.11993812 -0.13928352 6.871948 -7.980358
    Oben rechts KachelX + 1 68039 KachelY 68451 0.11998606 -0.13928352 6.874695 -7.980358
    Unten links KachelX 68038 KachelY + 1 68452 0.11993812 -0.13933099 6.871948 -7.983078
    Unten rechts KachelX + 1 68039 KachelY + 1 68452 0.11998606 -0.13933099 6.874695 -7.983078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13928352--0.13933099) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13928352--0.13933099) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(-0.13928352) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990315721894357 × 6371000     		do = 302.467912193283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11993812-0.11998606) × cos(-0.13933099) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.990309130347154 × 6371000     		du = 302.4658989651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13928352)-sin(-0.13933099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990315721894357-0.990309130347154)×R²
    abs(0.11998606-0.11993812)×6.59154720272781e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.59154720272781e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.59154720272781e-06×40589641000000     		ar = 91475.4806511295m²