Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68037 / 69059
↖ ↑ ↗
← S  9.630538°
E  6.869202°		 ← 301.06 m → S  9.630538°
E  6.871948°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.633246°
E  6.869202°		 ← 301.06 m →
90 666 m²		 S  9.633246°
E  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519084930419922 y=0.526882171630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519084930419922 × 217)
    floor (0.519084930419922 × 131072)
    floor (68037.5)     		tx = 68037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526882171630859 × 217)
    floor (0.526882171630859 × 131072)
    floor (69059.5)     		ty = 69059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68037 / 69059 ti = "17/68037/69059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68037/69059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68037 ÷ 217
    68037 ÷ 131072     		x = 0.519081115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69059 ÷ 217
    69059 ÷ 131072     		y = 0.526878356933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519081115722656 × 2 - 1) × π
    0.0381622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11989019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526878356933594 × 2 - 1) × π
    -0.0537567138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.168881697361458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11989019} λ = 0.11989019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168881697361458))-π/2
    2×atan(0.844608816927478)-π/2
    2×0.701355866166846-π/2
    1.40271173233369-1.57079632675     		φ = -0.16808459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11989019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.869202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16808459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.630538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68037 KachelY 69059 0.11989019 -0.16808459 6.869202 -9.630538
    Oben rechts KachelX + 1 68038 KachelY 69059 0.11993812 -0.16808459 6.871948 -9.630538
    Unten links KachelX 68037 KachelY + 1 69060 0.11989019 -0.16813186 6.869202 -9.633246
    Unten rechts KachelX + 1 68038 KachelY + 1 69060 0.11993812 -0.16813186 6.871948 -9.633246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16808459--0.16813186) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dl = 301.157169999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16808459--0.16813186) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dr = 301.157169999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(-0.16808459) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985907012320729 × 6371000     		do = 301.058566673503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(-0.16813186) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985899103220481 × 6371000     		du = 301.056151534595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16808459)-sin(-0.16813186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985907012320729-0.985899103220481)×R²
    abs(0.11993812-0.11989019)×7.90910024839331e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.90910024839331e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.90910024839331e-06×40589641000000     		ar = 90665.5822922722m²