Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68037 / 69058
↖ ↑ ↗
← S  9.627830°
E  6.869202°		 ← 301.06 m → S  9.627830°
E  6.871948°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.630538°
E  6.869202°		 ← 301.06 m →
90 647 m²		 S  9.630538°
E  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519084930419922 y=0.526874542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519084930419922 × 217)
    floor (0.519084930419922 × 131072)
    floor (68037.5)     		tx = 68037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526874542236328 × 217)
    floor (0.526874542236328 × 131072)
    floor (69058.5)     		ty = 69058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68037 / 69058 ti = "17/68037/69058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68037/69058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68037 ÷ 217
    68037 ÷ 131072     		x = 0.519081115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69058 ÷ 217
    69058 ÷ 131072     		y = 0.526870727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519081115722656 × 2 - 1) × π
    0.0381622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11989019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526870727539062 × 2 - 1) × π
    -0.053741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.168833760461838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11989019} λ = 0.11989019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168833760461838))-π/2
    2×atan(0.844649305826002)-π/2
    2×0.701379496924316-π/2
    1.40275899384863-1.57079632675     		φ = -0.16803733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11989019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.869202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16803733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.627830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68037 KachelY 69058 0.11989019 -0.16803733 6.869202 -9.627830
    Oben rechts KachelX + 1 68038 KachelY 69058 0.11993812 -0.16803733 6.871948 -9.627830
    Unten links KachelX 68037 KachelY + 1 69059 0.11989019 -0.16808459 6.869202 -9.630538
    Unten rechts KachelX + 1 68038 KachelY + 1 69059 0.11993812 -0.16808459 6.871948 -9.630538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16803733--0.16808459) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16803733--0.16808459) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(-0.16803733) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985914917545538 × 6371000     		do = 301.060980628998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(-0.16808459) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985907012320729 × 6371000     		du = 301.058566673503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16803733)-sin(-0.16808459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985914917545538-0.985907012320729)×R²
    abs(0.11993812-0.11989019)×7.90522480920153e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.90522480920153e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.90522480920153e-06×40589641000000     		ar = 90647.1289323607m²