Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68037 / 68453
↖ ↑ ↗
← S  7.985798°
E  6.869202°		 ← 302.40 m → S  7.985798°
E  6.871948°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  7.988517°
E  6.869202°		 ← 302.40 m →
91 455 m²		 S  7.988517°
E  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519084930419922 y=0.522258758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519084930419922 × 217)
    floor (0.519084930419922 × 131072)
    floor (68037.5)     		tx = 68037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522258758544922 × 217)
    floor (0.522258758544922 × 131072)
    floor (68453.5)     		ty = 68453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68037 / 68453 ti = "17/68037/68453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68037/68453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68037 ÷ 217
    68037 ÷ 131072     		x = 0.519081115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68453 ÷ 217
    68453 ÷ 131072     		y = 0.522254943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519081115722656 × 2 - 1) × π
    0.0381622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11989019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522254943847656 × 2 - 1) × π
    -0.0445098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.139831936191704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11989019} λ = 0.11989019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.139831936191704))-π/2
    2×atan(0.869504355333013)-π/2
    2×0.715708931973381-π/2
    1.43141786394676-1.57079632675     		φ = -0.13937846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11989019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.869202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13937846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.985798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68037 KachelY 68453 0.11989019 -0.13937846 6.869202 -7.985798
    Oben rechts KachelX + 1 68038 KachelY 68453 0.11993812 -0.13937846 6.871948 -7.985798
    Unten links KachelX 68037 KachelY + 1 68454 0.11989019 -0.13942593 6.869202 -7.988517
    Unten rechts KachelX + 1 68038 KachelY + 1 68454 0.11993812 -0.13942593 6.871948 -7.988517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13937846--0.13942593) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13937846--0.13942593) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(-0.13937846) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990302536568388 × 6371000     		do = 302.400792880682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(-0.13942593) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990295940558073 × 6371000     		du = 302.398778709583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13937846)-sin(-0.13942593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990302536568388-0.990295940558073)×R²
    abs(0.11993812-0.11989019)×6.59601031482993e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.59601031482993e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.59601031482993e-06×40589641000000     		ar = 91455.1815228855m²