Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68037 / 68421
↖ ↑ ↗
← S  7.898750°
E  6.869202°		 ← 302.46 m → S  7.898750°
E  6.871948°		 →
↑
302.50 m
↓
↑
302.50 m
↓
S  7.901471°
E  6.869202°		 ← 302.46 m →
91 494 m²		 S  7.901471°
E  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519084930419922 y=0.522014617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519084930419922 × 217)
    floor (0.519084930419922 × 131072)
    floor (68037.5)     		tx = 68037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522014617919922 × 217)
    floor (0.522014617919922 × 131072)
    floor (68421.5)     		ty = 68421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68037 / 68421 ti = "17/68037/68421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68037/68421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68037 ÷ 217
    68037 ÷ 131072     		x = 0.519081115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68421 ÷ 217
    68421 ÷ 131072     		y = 0.522010803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519081115722656 × 2 - 1) × π
    0.0381622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11989019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522010803222656 × 2 - 1) × π
    -0.0440216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.138297955403862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11989019} λ = 0.11989019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138297955403862))-π/2
    2×atan(0.870839181846404)-π/2
    2×0.716468565154239-π/2
    1.43293713030848-1.57079632675     		φ = -0.13785920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11989019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.869202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13785920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.898750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68037 KachelY 68421 0.11989019 -0.13785920 6.869202 -7.898750
    Oben rechts KachelX + 1 68038 KachelY 68421 0.11993812 -0.13785920 6.871948 -7.898750
    Unten links KachelX 68037 KachelY + 1 68422 0.11989019 -0.13790668 6.869202 -7.901471
    Unten rechts KachelX + 1 68038 KachelY + 1 68422 0.11993812 -0.13790668 6.871948 -7.901471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13785920--0.13790668) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dl = 302.495080000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13785920--0.13790668) × R
    4.74800000000164e-05 × 6371000     		dr = 302.495080000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(-0.13785920) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990512460792995 × 6371000     		do = 302.464895768054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(-0.13790668) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.990505934835226 × 6371000     		du = 302.462902988342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13785920)-sin(-0.13790668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990512460792995-0.990505934835226)×R²
    abs(0.11993812-0.11989019)×6.52595776917675e-06×R²
    4.79300000000016e-05×6.52595776917675e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×6.52595776917675e-06×40589641000000     		ar = 91493.8414567588m²