Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68037 / 42473
↖ ↑ ↗
← N 53.368582°
E  6.869202°		 ← 182.20 m → N 53.368582°
E  6.871948°		 →
↑
182.21 m
↓
↑
182.21 m
↓
N 53.366943°
E  6.869202°		 ← 182.21 m →
33 199 m²		 N 53.366943°
E  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519084930419922 y=0.324047088623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519084930419922 × 217)
    floor (0.519084930419922 × 131072)
    floor (68037.5)     		tx = 68037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324047088623047 × 217)
    floor (0.324047088623047 × 131072)
    floor (42473.5)     		ty = 42473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68037 / 42473 ti = "17/68037/42473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68037/42473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68037 ÷ 217
    68037 ÷ 131072     		x = 0.519081115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42473 ÷ 217
    42473 ÷ 131072     		y = 0.324043273925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519081115722656 × 2 - 1) × π
    0.0381622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11989019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324043273925781 × 2 - 1) × π
    0.351913452148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.10556871593736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11989019} λ = 0.11989019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10556871593736))-π/2
    2×atan(3.02094203823869)-π/2
    2×1.25112689829331-π/2
    2.50225379658662-1.57079632675     		φ = 0.93145747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11989019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.869202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93145747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.368582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68037 KachelY 42473 0.11989019 0.93145747 6.869202 53.368582
    Oben rechts KachelX + 1 68038 KachelY 42473 0.11993812 0.93145747 6.871948 53.368582
    Unten links KachelX 68037 KachelY + 1 42474 0.11989019 0.93142887 6.869202 53.366943
    Unten rechts KachelX + 1 68038 KachelY + 1 42474 0.11993812 0.93142887 6.871948 53.366943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93145747-0.93142887) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dl = 182.210600000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93145747-0.93142887) × R
    2.86000000000453e-05 × 6371000     		dr = 182.210600000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(0.93145747) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.596665010720712 × 6371000     		do = 182.198838903654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11989019-0.11993812) × cos(0.93142887) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.596687961702533 × 6371000     		du = 182.205847262054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93145747)-sin(0.93142887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596665010720712-0.596687961702533)×R²
    abs(0.11993812-0.11989019)×2.29509818207019e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.29509818207019e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.29509818207019e-05×40589641000000     		ar = 33199.1982568856m²