Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68036 / 68932
↖ ↑ ↗
← S  9.286464°
E  6.866455°		 ← 301.42 m → S  9.286464°
E  6.869202°		 →
↑
301.41 m
↓
↑
301.41 m
↓
S  9.289175°
E  6.866455°		 ← 301.42 m →
90 852 m²		 S  9.289175°
E  6.869202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519077301025391 y=0.525913238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519077301025391 × 217)
    floor (0.519077301025391 × 131072)
    floor (68036.5)     		tx = 68036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525913238525391 × 217)
    floor (0.525913238525391 × 131072)
    floor (68932.5)     		ty = 68932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68036 / 68932 ti = "17/68036/68932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68036/68932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68036 ÷ 217
    68036 ÷ 131072     		x = 0.519073486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68932 ÷ 217
    68932 ÷ 131072     		y = 0.525909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519073486328125 × 2 - 1) × π
    0.03814697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11984225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.05181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.162793711109711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11984225} λ = 0.11984225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.162793711109711))-π/2
    2×atan(0.849766467716513)-π/2
    2×0.704358471094103-π/2
    1.40871694218821-1.57079632675     		φ = -0.16207938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11984225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16207938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.286464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68036 KachelY 68932 0.11984225 -0.16207938 6.866455 -9.286464
    Oben rechts KachelX + 1 68037 KachelY 68932 0.11989019 -0.16207938 6.869202 -9.286464
    Unten links KachelX 68036 KachelY + 1 68933 0.11984225 -0.16212669 6.866455 -9.289175
    Unten rechts KachelX + 1 68037 KachelY + 1 68933 0.11989019 -0.16212669 6.869202 -9.289175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16207938--0.16212669) × R
    4.73099999999949e-05 × 6371000     		dl = 301.412009999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16207938--0.16212669) × R
    4.73099999999949e-05 × 6371000     		dr = 301.412009999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11984225-0.11989019) × cos(-0.16207938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98689386622554 × 6371000     		do = 301.422789393374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11984225-0.11989019) × cos(-0.16212669) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986886230674157 × 6371000     		du = 301.420457299442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16207938)-sin(-0.16212669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98689386622554-0.986886230674157)×R²
    abs(0.11989019-0.11984225)×7.63555138350025e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.63555138350025e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.63555138350025e-06×40589641000000     		ar = 90852.0973672139m²