Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68032 / 68729
↖ ↑ ↗
← S  8.735792°
E  6.855469°		 ← 301.88 m → S  8.735792°
E  6.858215°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.738507°
E  6.855469°		 ← 301.88 m →
91 125 m²		 S  8.738507°
E  6.858215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519046783447266 y=0.524364471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519046783447266 × 217)
    floor (0.519046783447266 × 131072)
    floor (68032.5)     		tx = 68032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524364471435547 × 217)
    floor (0.524364471435547 × 131072)
    floor (68729.5)     		ty = 68729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68032 / 68729 ti = "17/68032/68729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68032/68729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68032 ÷ 217
    68032 ÷ 131072     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68729 ÷ 217
    68729 ÷ 131072     		y = 0.524360656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524360656738281 × 2 - 1) × π
    -0.0487213134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.153062520486839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.153062520486839))-π/2
    2×atan(0.858076072800513)-π/2
    2×0.709163995500838-π/2
    1.41832799100168-1.57079632675     		φ = -0.15246834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15246834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.735792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68032 KachelY 68729 0.11965050 -0.15246834 6.855469 -8.735792
    Oben rechts KachelX + 1 68033 KachelY 68729 0.11969844 -0.15246834 6.858215 -8.735792
    Unten links KachelX 68032 KachelY + 1 68730 0.11965050 -0.15251572 6.855469 -8.738507
    Unten rechts KachelX + 1 68033 KachelY + 1 68730 0.11969844 -0.15251572 6.858215 -8.738507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15246834--0.15251572) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dl = 301.857979999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15246834--0.15251572) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dr = 301.857979999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.11969844) × cos(-0.15246834) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988399202048287 × 6371000     		do = 301.882557700984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.11969844) × cos(-0.15251572) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988392004945121 × 6371000     		du = 301.880359520424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15246834)-sin(-0.15251572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988399202048287-0.988392004945121)×R²
    abs(0.11969844-0.11965050)×7.19710316565703e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.19710316565703e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.19710316565703e-06×40589641000000     		ar = 91125.3273127383m²