Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68031 / 69055
↖ ↑ ↗
← S  9.619706°
E  6.852722°		 ← 301.13 m → S  9.619706°
E  6.855469°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.622414°
E  6.852722°		 ← 301.13 m →
90 668 m²		 S  9.622414°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519039154052734 y=0.526851654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519039154052734 × 217)
    floor (0.519039154052734 × 131072)
    floor (68031.5)     		tx = 68031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526851654052734 × 217)
    floor (0.526851654052734 × 131072)
    floor (69055.5)     		ty = 69055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68031 / 69055 ti = "17/68031/69055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68031/69055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68031 ÷ 217
    68031 ÷ 131072     		x = 0.519035339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69055 ÷ 217
    69055 ÷ 131072     		y = 0.526847839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519035339355469 × 2 - 1) × π
    0.0380706787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11960256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526847839355469 × 2 - 1) × π
    -0.0536956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.168689949762978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11960256} λ = 0.11960256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168689949762978))-π/2
    2×atan(0.844770784167698)-π/2
    2×0.701450390333258-π/2
    1.40290078066652-1.57079632675     		φ = -0.16789555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11960256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.852722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16789555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.619706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68031 KachelY 69055 0.11960256 -0.16789555 6.852722 -9.619706
    Oben rechts KachelX + 1 68032 KachelY 69055 0.11965050 -0.16789555 6.855469 -9.619706
    Unten links KachelX 68031 KachelY + 1 69056 0.11960256 -0.16794281 6.852722 -9.622414
    Unten rechts KachelX + 1 68032 KachelY + 1 69056 0.11965050 -0.16794281 6.855469 -9.622414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16789555--0.16794281) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16789555--0.16794281) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11960256-0.11965050) × cos(-0.16789555) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985938620007604 × 6371000     		do = 301.131032610465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11960256-0.11965050) × cos(-0.16794281) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985930721388994 × 6371000     		du = 301.128620169031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16789555)-sin(-0.16794281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985938620007604-0.985930721388994)×R²
    abs(0.11965050-0.11960256)×7.89861861083541e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.89861861083541e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.89861861083541e-06×40589641000000     		ar = 90668.2213537856m²