Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68030 / 69191
↖ ↑ ↗
← S  9.987786°
E  6.849976°		 ← 300.73 m → S  9.987786°
E  6.852722°		 →
↑
300.77 m
↓
↑
300.77 m
↓
S  9.990491°
E  6.849976°		 ← 300.73 m →
90 453 m²		 S  9.990491°
E  6.852722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519031524658203 y=0.527889251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519031524658203 × 217)
    floor (0.519031524658203 × 131072)
    floor (68030.5)     		tx = 68030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527889251708984 × 217)
    floor (0.527889251708984 × 131072)
    floor (69191.5)     		ty = 69191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68030 / 69191 ti = "17/68030/69191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68030/69191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68030 ÷ 217
    68030 ÷ 131072     		x = 0.519027709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69191 ÷ 217
    69191 ÷ 131072     		y = 0.527885437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519027709960938 × 2 - 1) × π
    0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527885437011719 × 2 - 1) × π
    -0.0557708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.175209368111305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11955463} λ = 0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175209368111305))-π/2
    2×atan(0.839281283635765)-π/2
    2×0.698238289301808-π/2
    1.39647657860362-1.57079632675     		φ = -0.17431975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17431975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.987786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68030 KachelY 69191 0.11955463 -0.17431975 6.849976 -9.987786
    Oben rechts KachelX + 1 68031 KachelY 69191 0.11960256 -0.17431975 6.852722 -9.987786
    Unten links KachelX 68030 KachelY + 1 69192 0.11955463 -0.17436696 6.849976 -9.990491
    Unten rechts KachelX + 1 68031 KachelY + 1 69192 0.11960256 -0.17436696 6.852722 -9.990491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17431975--0.17436696) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dl = 300.774909999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17431975--0.17436696) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dr = 300.774909999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11955463-0.11960256) × cos(-0.17431975) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984844748120196 × 6371000     		do = 300.734191520832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11955463-0.11960256) × cos(-0.17436696) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.984836559003521 × 6371000     		du = 300.73169087554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17431975)-sin(-0.17436696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984844748120196-0.984836559003521)×R²
    abs(0.11960256-0.11955463)×8.18911667521682e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.18911667521682e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.18911667521682e-06×40589641000000     		ar = 90452.9233396987m²