Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68030 / 69054
↖ ↑ ↗
← S  9.616998°
E  6.849976°		 ← 301.07 m → S  9.616998°
E  6.852722°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.619706°
E  6.849976°		 ← 301.07 m →
90 669 m²		 S  9.619706°
E  6.852722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519031524658203 y=0.526844024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519031524658203 × 217)
    floor (0.519031524658203 × 131072)
    floor (68030.5)     		tx = 68030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526844024658203 × 217)
    floor (0.526844024658203 × 131072)
    floor (69054.5)     		ty = 69054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68030 / 69054 ti = "17/68030/69054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68030/69054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68030 ÷ 217
    68030 ÷ 131072     		x = 0.519027709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69054 ÷ 217
    69054 ÷ 131072     		y = 0.526840209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519027709960938 × 2 - 1) × π
    0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526840209960938 × 2 - 1) × π
    -0.053680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.168642012863358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11955463} λ = 0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168642012863358))-π/2
    2×atan(0.844811280830615)-π/2
    2×0.701474021848246-π/2
    1.40294804369649-1.57079632675     		φ = -0.16784828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16784828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.616998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68030 KachelY 69054 0.11955463 -0.16784828 6.849976 -9.616998
    Oben rechts KachelX + 1 68031 KachelY 69054 0.11960256 -0.16784828 6.852722 -9.616998
    Unten links KachelX 68030 KachelY + 1 69055 0.11955463 -0.16789555 6.849976 -9.619706
    Unten rechts KachelX + 1 68031 KachelY + 1 69055 0.11960256 -0.16789555 6.852722 -9.619706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16784828--0.16789555) × R
    4.72700000000159e-05 × 6371000     		dl = 301.157170000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16784828--0.16789555) × R
    4.72700000000159e-05 × 6371000     		dr = 301.157170000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11955463-0.11960256) × cos(-0.16784828) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985946518094727 × 6371000     		do = 301.070630236847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11955463-0.11960256) × cos(-0.16789555) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985938620007604 × 6371000     		du = 301.068218460931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16784828)-sin(-0.16789555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985946518094727-0.985938620007604)×R²
    abs(0.11960256-0.11955463)×7.8980871220935e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.8980871220935e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.8980871220935e-06×40589641000000     		ar = 90669.2158273447m²