Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68030 / 68794
↖ ↑ ↗
← S  8.912207°
E  6.849976°		 ← 301.68 m → S  8.912207°
E  6.852722°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.914920°
E  6.849976°		 ← 301.67 m →
91 024 m²		 S  8.914920°
E  6.852722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519031524658203 y=0.524860382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519031524658203 × 217)
    floor (0.519031524658203 × 131072)
    floor (68030.5)     		tx = 68030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524860382080078 × 217)
    floor (0.524860382080078 × 131072)
    floor (68794.5)     		ty = 68794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68030 / 68794 ti = "17/68030/68794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68030/68794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68030 ÷ 217
    68030 ÷ 131072     		x = 0.519027709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68794 ÷ 217
    68794 ÷ 131072     		y = 0.524856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519027709960938 × 2 - 1) × π
    0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.049713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.156178418962143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11955463} λ = 0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156178418962143))-π/2
    2×atan(0.855406556005058)-π/2
    2×0.707624486455217-π/2
    1.41524897291043-1.57079632675     		φ = -0.15554735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15554735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.912207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68030 KachelY 68794 0.11955463 -0.15554735 6.849976 -8.912207
    Oben rechts KachelX + 1 68031 KachelY 68794 0.11960256 -0.15554735 6.852722 -8.912207
    Unten links KachelX 68030 KachelY + 1 68795 0.11955463 -0.15559471 6.849976 -8.914920
    Unten rechts KachelX + 1 68031 KachelY + 1 68795 0.11960256 -0.15559471 6.852722 -8.914920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15554735--0.15559471) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15554735--0.15559471) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11955463-0.11960256) × cos(-0.15554735) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987926882830929 × 6371000     		do = 301.675358432835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11955463-0.11960256) × cos(-0.15559471) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987919544670856 × 6371000     		du = 301.673117637378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15554735)-sin(-0.15559471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987926882830929-0.987919544670856)×R²
    abs(0.11960256-0.11955463)×7.33816007314481e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.33816007314481e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.33816007314481e-06×40589641000000     		ar = 91024.336796921m²