Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68029 / 68673
↖ ↑ ↗
← S  8.583737°
E  6.847229°		 ← 302 m → S  8.583737°
E  6.849976°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.586453°
E  6.847229°		 ← 302 m →
91 201 m²		 S  8.586453°
E  6.849976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519023895263672 y=0.523937225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519023895263672 × 217)
    floor (0.519023895263672 × 131072)
    floor (68029.5)     		tx = 68029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523937225341797 × 217)
    floor (0.523937225341797 × 131072)
    floor (68673.5)     		ty = 68673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68029 / 68673 ti = "17/68029/68673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68029/68673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68029 ÷ 217
    68029 ÷ 131072     		x = 0.519020080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68673 ÷ 217
    68673 ÷ 131072     		y = 0.523933410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519020080566406 × 2 - 1) × π
    0.0380401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11950669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523933410644531 × 2 - 1) × π
    -0.0478668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.150378054108116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11950669} λ = 0.11950669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150378054108116))-π/2
    2×atan(0.860382643739236)-π/2
    2×0.710490926642513-π/2
    1.42098185328503-1.57079632675     		φ = -0.14981447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11950669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.847229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14981447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.583737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68029 KachelY 68673 0.11950669 -0.14981447 6.847229 -8.583737
    Oben rechts KachelX + 1 68030 KachelY 68673 0.11955463 -0.14981447 6.849976 -8.583737
    Unten links KachelX 68029 KachelY + 1 68674 0.11950669 -0.14986187 6.847229 -8.586453
    Unten rechts KachelX + 1 68030 KachelY + 1 68674 0.11955463 -0.14986187 6.849976 -8.586453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14981447--0.14986187) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14981447--0.14986187) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11950669-0.11955463) × cos(-0.14981447) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988798786175168 × 6371000     		do = 302.004600978629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11950669-0.11955463) × cos(-0.14986187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98879171039239 × 6371000     		du = 302.002439852438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14981447)-sin(-0.14986187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988798786175168-0.98879171039239)×R²
    abs(0.11955463-0.11950669)×7.07578277803211e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.07578277803211e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.07578277803211e-06×40589641000000     		ar = 91200.6539311645m²