Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68027 / 69052
↖ ↑ ↗
← S  9.611582°
E  6.841736°		 ← 301.08 m → S  9.611582°
E  6.844482°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.614290°
E  6.841736°		 ← 301.07 m →
90 651 m²		 S  9.614290°
E  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519008636474609 y=0.526828765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519008636474609 × 217)
    floor (0.519008636474609 × 131072)
    floor (68027.5)     		tx = 68027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526828765869141 × 217)
    floor (0.526828765869141 × 131072)
    floor (69052.5)     		ty = 69052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68027 / 69052 ti = "17/68027/69052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68027/69052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68027 ÷ 217
    68027 ÷ 131072     		x = 0.519004821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69052 ÷ 217
    69052 ÷ 131072     		y = 0.526824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519004821777344 × 2 - 1) × π
    0.0380096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11941082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.05364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.168546139064117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11941082} λ = 0.11941082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.168546139064117))-π/2
    2×atan(0.844892279980535)-π/2
    2×0.701521285445924-π/2
    1.40304257089185-1.57079632675     		φ = -0.16775376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11941082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.841736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16775376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.611582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68027 KachelY 69052 0.11941082 -0.16775376 6.841736 -9.611582
    Oben rechts KachelX + 1 68028 KachelY 69052 0.11945875 -0.16775376 6.844482 -9.611582
    Unten links KachelX 68027 KachelY + 1 69053 0.11941082 -0.16780102 6.841736 -9.614290
    Unten rechts KachelX + 1 68028 KachelY + 1 69053 0.11945875 -0.16780102 6.844482 -9.614290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16775376--0.16780102) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dl = 301.093459999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16775376--0.16780102) × R
    4.72599999999934e-05 × 6371000     		dr = 301.093459999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11941082-0.11945875) × cos(-0.16775376) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985962304320439 × 6371000     		do = 301.075450750777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11941082-0.11945875) × cos(-0.16780102) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.985954412308651 × 6371000     		du = 301.073040830037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16775376)-sin(-0.16780102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985962304320439-0.985954412308651)×R²
    abs(0.11945875-0.11941082)×7.89201178774679e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.89201178774679e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.89201178774679e-06×40589641000000     		ar = 90651.4863987975m²