Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68025 / 68616
↖ ↑ ↗
← S  8.428904°
E  6.836242°		 ← 302.13 m → S  8.428904°
E  6.838989°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.431621°
E  6.836242°		 ← 302.12 m →
91 276 m²		 S  8.431621°
E  6.838989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518993377685547 y=0.523502349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518993377685547 × 217)
    floor (0.518993377685547 × 131072)
    floor (68025.5)     		tx = 68025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523502349853516 × 217)
    floor (0.523502349853516 × 131072)
    floor (68616.5)     		ty = 68616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68025 / 68616 ti = "17/68025/68616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68025/68616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68025 ÷ 217
    68025 ÷ 131072     		x = 0.518989562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68616 ÷ 217
    68616 ÷ 131072     		y = 0.52349853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518989562988281 × 2 - 1) × π
    0.0379791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11931494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.147645650829773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11931494} λ = 0.11931494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147645650829773))-π/2
    2×atan(0.862736770843262)-π/2
    2×0.711842099021785-π/2
    1.42368419804357-1.57079632675     		φ = -0.14711213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11931494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.836242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14711213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.428904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68025 KachelY 68616 0.11931494 -0.14711213 6.836242 -8.428904
    Oben rechts KachelX + 1 68026 KachelY 68616 0.11936288 -0.14711213 6.838989 -8.428904
    Unten links KachelX 68025 KachelY + 1 68617 0.11931494 -0.14715955 6.836242 -8.431621
    Unten rechts KachelX + 1 68026 KachelY + 1 68617 0.11936288 -0.14715955 6.838989 -8.431621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14711213--0.14715955) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14711213--0.14715955) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11931494-0.11936288) × cos(-0.14711213) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989198512165559 × 6371000     		do = 302.126687585129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11931494-0.11936288) × cos(-0.14715955) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.989191560131573 × 6371000     		du = 302.124564255004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14711213)-sin(-0.14715955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989198512165559-0.989191560131573)×R²
    abs(0.11936288-0.11931494)×6.95203398659583e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.95203398659583e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.95203398659583e-06×40589641000000     		ar = 91276.0248580596m²