Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68023 / 69066
↖ ↑ ↗
← S  9.649492°
E  6.830750°		 ← 301.10 m → S  9.649492°
E  6.833496°		 →
↑
301.09 m
↓
↑
301.09 m
↓
S  9.652200°
E  6.830750°		 ← 301.10 m →
90 660 m²		 S  9.652200°
E  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518978118896484 y=0.526935577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518978118896484 × 217)
    floor (0.518978118896484 × 131072)
    floor (68023.5)     		tx = 68023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526935577392578 × 217)
    floor (0.526935577392578 × 131072)
    floor (69066.5)     		ty = 69066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68023 / 69066 ti = "17/68023/69066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68023/69066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68023 ÷ 217
    68023 ÷ 131072     		x = 0.518974304199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69066 ÷ 217
    69066 ÷ 131072     		y = 0.526931762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518974304199219 × 2 - 1) × π
    0.0379486083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11921907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526931762695312 × 2 - 1) × π
    -0.053863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.169217255658798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11921907} λ = 0.11921907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.169217255658798))-π/2
    2×atan(0.844325448976844)-π/2
    2×0.701190456173645-π/2
    1.40238091234729-1.57079632675     		φ = -0.16841541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11921907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.830750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16841541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.649492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68023 KachelY 69066 0.11921907 -0.16841541 6.830750 -9.649492
    Oben rechts KachelX + 1 68024 KachelY 69066 0.11926701 -0.16841541 6.833496 -9.649492
    Unten links KachelX 68023 KachelY + 1 69067 0.11921907 -0.16846267 6.830750 -9.652200
    Unten rechts KachelX + 1 68024 KachelY + 1 69067 0.11926701 -0.16846267 6.833496 -9.652200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16841541--0.16846267) × R
    4.72600000000212e-05 × 6371000     		dl = 301.093460000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16841541--0.16846267) × R
    4.72600000000212e-05 × 6371000     		dr = 301.093460000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11921907-0.11926701) × cos(-0.16841541) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985851614091191 × 6371000     		do = 301.104458764061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11921907-0.11926701) × cos(-0.16846267) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.985843691250631 × 6371000     		du = 301.102038924619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16841541)-sin(-0.16846267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985851614091191-0.985843691250631)×R²
    abs(0.11926701-0.11921907)×7.9228405608367e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.9228405608367e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.9228405608367e-06×40589641000000     		ar = 90660.2190287349m²