Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68022 / 69235
↖ ↑ ↗
← S 10.106782°
E  6.828003°		 ← 300.69 m → S 10.106782°
E  6.830750°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.109486°
E  6.828003°		 ← 300.68 m →
90 419 m²		 S 10.109486°
E  6.830750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518970489501953 y=0.528224945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518970489501953 × 217)
    floor (0.518970489501953 × 131072)
    floor (68022.5)     		tx = 68022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528224945068359 × 217)
    floor (0.528224945068359 × 131072)
    floor (69235.5)     		ty = 69235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68022 / 69235 ti = "17/68022/69235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68022/69235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68022 ÷ 217
    68022 ÷ 131072     		x = 0.518966674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69235 ÷ 217
    69235 ÷ 131072     		y = 0.528221130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518966674804688 × 2 - 1) × π
    0.037933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11917113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528221130371094 × 2 - 1) × π
    -0.0564422607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.177318591694588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11917113} λ = 0.11917113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.177318591694588))-π/2
    2×atan(0.83751291735484)-π/2
    2×0.697199851116232-π/2
    1.39439970223246-1.57079632675     		φ = -0.17639662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11917113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.828003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17639662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.106782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68022 KachelY 69235 0.11917113 -0.17639662 6.828003 -10.106782
    Oben rechts KachelX + 1 68023 KachelY 69235 0.11921907 -0.17639662 6.830750 -10.106782
    Unten links KachelX 68022 KachelY + 1 69236 0.11917113 -0.17644382 6.828003 -10.109486
    Unten rechts KachelX + 1 68023 KachelY + 1 69236 0.11921907 -0.17644382 6.830750 -10.109486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17639662--0.17644382) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17639662--0.17644382) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11917113-0.11921907) × cos(-0.17639662) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984482415699107 × 6371000     		do = 300.686270331864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11917113-0.11921907) × cos(-0.17644382) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984474131792786 × 6371000     		du = 300.683740213646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17639662)-sin(-0.17644382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984482415699107-0.984474131792786)×R²
    abs(0.11921907-0.11917113)×8.28390632057197e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.28390632057197e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.28390632057197e-06×40589641000000     		ar = 90419.348774352m²