Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68022 / 69194
↖ ↑ ↗
← S  9.995901°
E  6.828003°		 ← 300.79 m → S  9.995901°
E  6.830750°		 →
↑
300.77 m
↓
↑
300.77 m
↓
S  9.998606°
E  6.828003°		 ← 300.79 m →
90 470 m²		 S  9.998606°
E  6.830750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518970489501953 y=0.527912139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518970489501953 × 217)
    floor (0.518970489501953 × 131072)
    floor (68022.5)     		tx = 68022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527912139892578 × 217)
    floor (0.527912139892578 × 131072)
    floor (69194.5)     		ty = 69194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68022 / 69194 ti = "17/68022/69194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68022/69194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68022 ÷ 217
    68022 ÷ 131072     		x = 0.518966674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69194 ÷ 217
    69194 ÷ 131072     		y = 0.527908325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518966674804688 × 2 - 1) × π
    0.037933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11917113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527908325195312 × 2 - 1) × π
    -0.055816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.175353178810165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11917113} λ = 0.11917113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175353178810165))-π/2
    2×atan(0.839160594686214)-π/2
    2×0.698167474579418-π/2
    1.39633494915884-1.57079632675     		φ = -0.17446138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11917113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.828003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17446138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.995901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68022 KachelY 69194 0.11917113 -0.17446138 6.828003 -9.995901
    Oben rechts KachelX + 1 68023 KachelY 69194 0.11921907 -0.17446138 6.830750 -9.995901
    Unten links KachelX 68022 KachelY + 1 69195 0.11917113 -0.17450859 6.828003 -9.998606
    Unten rechts KachelX + 1 68023 KachelY + 1 69195 0.11921907 -0.17450859 6.830750 -9.998606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17446138--0.17450859) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dl = 300.774909999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17446138--0.17450859) × R
    4.7209999999992e-05 × 6371000     		dr = 300.774909999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11917113-0.11921907) × cos(-0.17446138) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984820174185224 × 6371000     		do = 300.789430467428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11917113-0.11921907) × cos(-0.17450859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98481197848364 × 6371000     		du = 300.786927289207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17446138)-sin(-0.17450859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984820174185224-0.98481197848364)×R²
    abs(0.11921907-0.11917113)×8.19570158461236e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.19570158461236e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.19570158461236e-06×40589641000000     		ar = 90469.5374480028m²