Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68022 / 68726
↖ ↑ ↗
← S  8.727648°
E  6.828003°		 ← 301.89 m → S  8.727648°
E  6.830750°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.730362°
E  6.828003°		 ← 301.89 m →
91 127 m²		 S  8.730362°
E  6.830750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518970489501953 y=0.524341583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518970489501953 × 217)
    floor (0.518970489501953 × 131072)
    floor (68022.5)     		tx = 68022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524341583251953 × 217)
    floor (0.524341583251953 × 131072)
    floor (68726.5)     		ty = 68726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68022 / 68726 ti = "17/68022/68726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68022/68726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68022 ÷ 217
    68022 ÷ 131072     		x = 0.518966674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68726 ÷ 217
    68726 ÷ 131072     		y = 0.524337768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518966674804688 × 2 - 1) × π
    0.037933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11917113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524337768554688 × 2 - 1) × π
    -0.048675537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.152918709787979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11917113} λ = 0.11917113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152918709787979))-π/2
    2×atan(0.858199482193801)-π/2
    2×0.709235067466808-π/2
    1.41847013493362-1.57079632675     		φ = -0.15232619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11917113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.828003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15232619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.727648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68022 KachelY 68726 0.11917113 -0.15232619 6.828003 -8.727648
    Oben rechts KachelX + 1 68023 KachelY 68726 0.11921907 -0.15232619 6.830750 -8.727648
    Unten links KachelX 68022 KachelY + 1 68727 0.11917113 -0.15237357 6.828003 -8.730362
    Unten rechts KachelX + 1 68023 KachelY + 1 68727 0.11921907 -0.15237357 6.830750 -8.730362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15232619--0.15237357) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15232619--0.15237357) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11917113-0.11921907) × cos(-0.15232619) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988420781562164 × 6371000     		do = 301.889148639979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11917113-0.11921907) × cos(-0.15237357) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988413591115982 × 6371000     		du = 301.886952492633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15232619)-sin(-0.15237357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988420781562164-0.988413591115982)×R²
    abs(0.11921907-0.11917113)×7.19044618224807e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.19044618224807e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.19044618224807e-06×40589641000000     		ar = 91127.3171471804m²