Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68021 / 69470
↖ ↑ ↗
← S 10.741573°
E  6.825257°		 ← 300.01 m → S 10.741573°
E  6.828003°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
S 10.744271°
E  6.825257°		 ← 300.01 m →
90 006 m²		 S 10.744271°
E  6.828003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518962860107422 y=0.530017852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518962860107422 × 217)
    floor (0.518962860107422 × 131072)
    floor (68021.5)     		tx = 68021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530017852783203 × 217)
    floor (0.530017852783203 × 131072)
    floor (69470.5)     		ty = 69470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68021 / 69470 ti = "17/68021/69470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68021/69470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68021 ÷ 217
    68021 ÷ 131072     		x = 0.518959045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69470 ÷ 217
    69470 ÷ 131072     		y = 0.530014038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518959045410156 × 2 - 1) × π
    0.0379180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11912320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530014038085938 × 2 - 1) × π
    -0.060028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.188583763105301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11912320} λ = 0.11912320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.188583763105301))-π/2
    2×atan(0.828131133698015)-π/2
    2×0.691660260311038-π/2
    1.38332052062208-1.57079632675     		φ = -0.18747581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11912320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.825257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18747581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.741573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68021 KachelY 69470 0.11912320 -0.18747581 6.825257 -10.741573
    Oben rechts KachelX + 1 68022 KachelY 69470 0.11917113 -0.18747581 6.828003 -10.741573
    Unten links KachelX 68021 KachelY + 1 69471 0.11912320 -0.18752290 6.825257 -10.744271
    Unten rechts KachelX + 1 68022 KachelY + 1 69471 0.11917113 -0.18752290 6.828003 -10.744271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18747581--0.18752290) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18747581--0.18752290) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11912320-0.11917113) × cos(-0.18747581) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.982477821909553 × 6371000     		do = 300.01142212829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11912320-0.11917113) × cos(-0.18752290) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98246904420815 × 6371000     		du = 300.00874175157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18747581)-sin(-0.18752290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982477821909553-0.98246904420815)×R²
    abs(0.11917113-0.11912320)×8.77770140295109e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.77770140295109e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.77770140295109e-06×40589641000000     		ar = 90006.1417033532m²