Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68021 / 42493
↖ ↑ ↗
← N 53.335793°
E  6.825257°		 ← 182.34 m → N 53.335793°
E  6.828003°		 →
↑
182.34 m
↓
↑
182.34 m
↓
N 53.334153°
E  6.825257°		 ← 182.35 m →
33 248 m²		 N 53.334153°
E  6.828003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518962860107422 y=0.324199676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518962860107422 × 217)
    floor (0.518962860107422 × 131072)
    floor (68021.5)     		tx = 68021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324199676513672 × 217)
    floor (0.324199676513672 × 131072)
    floor (42493.5)     		ty = 42493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68021 / 42493 ti = "17/68021/42493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68021/42493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68021 ÷ 217
    68021 ÷ 131072     		x = 0.518959045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42493 ÷ 217
    42493 ÷ 131072     		y = 0.324195861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518959045410156 × 2 - 1) × π
    0.0379180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11912320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324195861816406 × 2 - 1) × π
    0.351608276367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.10460997794495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11912320} λ = 0.11912320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10460997794495))-π/2
    2×atan(3.01804713428274)-π/2
    2×1.25084076554357-π/2
    2.50168153108713-1.57079632675     		φ = 0.93088520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11912320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.825257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93088520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.335793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68021 KachelY 42493 0.11912320 0.93088520 6.825257 53.335793
    Oben rechts KachelX + 1 68022 KachelY 42493 0.11917113 0.93088520 6.828003 53.335793
    Unten links KachelX 68021 KachelY + 1 42494 0.11912320 0.93085658 6.825257 53.334153
    Unten rechts KachelX + 1 68022 KachelY + 1 42494 0.11917113 0.93085658 6.828003 53.334153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93088520-0.93085658) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dl = 182.338019999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93088520-0.93085658) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dr = 182.338019999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11912320-0.11917113) × cos(0.93088520) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.597124154183225 × 6371000     		do = 182.339043883429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11912320-0.11917113) × cos(0.93085658) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.597147111438165 × 6371000     		du = 182.3460541574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93088520)-sin(0.93085658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597124154183225-0.597147111438165)×R²
    abs(0.11917113-0.11912320)×2.29572549405033e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.29572549405033e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.29572549405033e-05×40589641000000     		ar = 33247.9793523113m²