Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6802 / 1918
↖ ↑ ↗
← N 79.695048°
W 30.541992°		 ← 437.06 m → N 79.695048°
W 30.520020°		 →
↑
437.11 m
↓
↑
437.11 m
↓
N 79.691117°
W 30.541992°		 ← 437.22 m →
191 081 m²		 N 79.691117°
W 30.520020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.415191650390625 y=0.117095947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.415191650390625 × 214)
    floor (0.415191650390625 × 16384)
    floor (6802.5)     		tx = 6802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117095947265625 × 214)
    floor (0.117095947265625 × 16384)
    floor (1918.5)     		ty = 1918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6802 / 1918 ti = "14/6802/1918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6802/1918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6802 ÷ 214
    6802 ÷ 16384     		x = 0.4151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1918 ÷ 214
    1918 ÷ 16384     		y = 0.1170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.53305832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1170654296875 × 2 - 1) × π
    0.765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40604886572986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53305832} λ = -0.53305832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40604886572986))-π/2
    2×atan(11.0900561639787)-π/2
    2×1.48086865925035-π/2
    2.96173731850071-1.57079632675     		φ = 1.39094099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53305832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.541992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39094099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.695048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6802 KachelY 1918 -0.53305832 1.39094099 -30.541992 79.695048
    Oben rechts KachelX + 1 6803 KachelY 1918 -0.53267483 1.39094099 -30.520020 79.695048
    Unten links KachelX 6802 KachelY + 1 1919 -0.53305832 1.39087238 -30.541992 79.691117
    Unten rechts KachelX + 1 6803 KachelY + 1 1919 -0.53267483 1.39087238 -30.520020 79.691117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39094099-1.39087238) × R
    6.86100000000245e-05 × 6371000     		dl = 437.114310000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39094099-1.39087238) × R
    6.86100000000245e-05 × 6371000     		dr = 437.114310000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53305832--0.53267483) × cos(1.39094099) × R
    0.000383489999999931 × 0.178887245571085 × 6371000     		do = 437.059964121559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53305832--0.53267483) × cos(1.39087238) × R
    0.000383489999999931 × 0.178954748441977 × 6371000     		du = 437.22488813409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39094099)-sin(1.39087238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178887245571085-0.178954748441977)×R²
    abs(-0.53267483--0.53305832)×6.7502870891939e-05×R²
    0.000383489999999931×6.7502870891939e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.7502870891939e-05×40589641000000     		ar = 191081.210044475m²