Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68019 / 69331
↖ ↑ ↗
← S 10.366257°
E  6.819763°		 ← 300.44 m → S 10.366257°
E  6.822510°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
S 10.368959°
E  6.819763°		 ← 300.44 m →
90 269 m²		 S 10.368959°
E  6.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518947601318359 y=0.528957366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518947601318359 × 217)
    floor (0.518947601318359 × 131072)
    floor (68019.5)     		tx = 68019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528957366943359 × 217)
    floor (0.528957366943359 × 131072)
    floor (69331.5)     		ty = 69331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68019 / 69331 ti = "17/68019/69331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68019/69331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68019 ÷ 217
    68019 ÷ 131072     		x = 0.518943786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69331 ÷ 217
    69331 ÷ 131072     		y = 0.528953552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518943786621094 × 2 - 1) × π
    0.0378875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11902732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528953552246094 × 2 - 1) × π
    -0.0579071044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.181920534058113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11902732} λ = 0.11902732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181920534058113))-π/2
    2×atan(0.833667585963507)-π/2
    2×0.69493550761927-π/2
    1.38987101523854-1.57079632675     		φ = -0.18092531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11902732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.819763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18092531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.366257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68019 KachelY 69331 0.11902732 -0.18092531 6.819763 -10.366257
    Oben rechts KachelX + 1 68020 KachelY 69331 0.11907526 -0.18092531 6.822510 -10.366257
    Unten links KachelX 68019 KachelY + 1 69332 0.11902732 -0.18097247 6.819763 -10.368959
    Unten rechts KachelX + 1 68020 KachelY + 1 69332 0.11907526 -0.18097247 6.822510 -10.368959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18092531--0.18097247) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dl = 300.45635999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18092531--0.18097247) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dr = 300.45635999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11902732-0.11907526) × cos(-0.18092531) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98367761377441 × 6371000     		do = 300.44046310846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11902732-0.11907526) × cos(-0.18097247) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983669126716872 × 6371000     		du = 300.437870942631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18092531)-sin(-0.18097247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98367761377441-0.983669126716872)×R²
    abs(0.11907526-0.11902732)×8.48705753764278e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.48705753764278e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.48705753764278e-06×40589641000000     		ar = 90268.8585426851m²