Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68019 / 68479
↖ ↑ ↗
← S  8.056510°
E  6.819763°		 ← 302.41 m → S  8.056510°
E  6.822510°		 →
↑
302.37 m
↓
↑
302.37 m
↓
S  8.059230°
E  6.819763°		 ← 302.41 m →
91 439 m²		 S  8.059230°
E  6.822510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518947601318359 y=0.522457122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518947601318359 × 217)
    floor (0.518947601318359 × 131072)
    floor (68019.5)     		tx = 68019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522457122802734 × 217)
    floor (0.522457122802734 × 131072)
    floor (68479.5)     		ty = 68479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68019 / 68479 ti = "17/68019/68479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68019/68479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68019 ÷ 217
    68019 ÷ 131072     		x = 0.518943786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68479 ÷ 217
    68479 ÷ 131072     		y = 0.522453308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518943786621094 × 2 - 1) × π
    0.0378875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11902732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522453308105469 × 2 - 1) × π
    -0.0449066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.141078295581825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11902732} λ = 0.11902732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.141078295581825))-π/2
    2×atan(0.868421315483636)-π/2
    2×0.715091849124193-π/2
    1.43018369824839-1.57079632675     		φ = -0.14061263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11902732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.819763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14061263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.056510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68019 KachelY 68479 0.11902732 -0.14061263 6.819763 -8.056510
    Oben rechts KachelX + 1 68020 KachelY 68479 0.11907526 -0.14061263 6.822510 -8.056510
    Unten links KachelX 68019 KachelY + 1 68480 0.11902732 -0.14066009 6.819763 -8.059230
    Unten rechts KachelX + 1 68020 KachelY + 1 68480 0.11907526 -0.14066009 6.822510 -8.059230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14061263--0.14066009) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dl = 302.367659999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14061263--0.14066009) × R
    4.74599999999992e-05 × 6371000     		dr = 302.367659999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11902732-0.11907526) × cos(-0.14061263) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990130322097952 × 6371000     		do = 302.411286323182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11902732-0.11907526) × cos(-0.14066009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990123669476922 × 6371000     		du = 302.409254441481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14061263)-sin(-0.14066009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990130322097952-0.990123669476922)×R²
    abs(0.11907526-0.11902732)×6.65262103005659e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.65262103005659e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.65262103005659e-06×40589641000000     		ar = 91439.0858326269m²