Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68015 / 69209
↖ ↑ ↗
← S 10.036471°
E  6.808777°		 ← 300.75 m → S 10.036471°
E  6.811523°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.039176°
E  6.808777°		 ← 300.75 m →
90 439 m²		 S 10.039176°
E  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518917083740234 y=0.528026580810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518917083740234 × 217)
    floor (0.518917083740234 × 131072)
    floor (68015.5)     		tx = 68015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528026580810547 × 217)
    floor (0.528026580810547 × 131072)
    floor (69209.5)     		ty = 69209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68015 / 69209 ti = "17/68015/69209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68015/69209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68015 ÷ 217
    68015 ÷ 131072     		x = 0.518913269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69209 ÷ 217
    69209 ÷ 131072     		y = 0.528022766113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518913269042969 × 2 - 1) × π
    0.0378265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11883557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528022766113281 × 2 - 1) × π
    -0.0560455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.176072232304466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11883557} λ = 0.11883557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176072232304466))-π/2
    2×atan(0.838557410215265)-π/2
    2×0.697813427510168-π/2
    1.39562685502034-1.57079632675     		φ = -0.17516947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11883557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.808777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17516947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.036471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68015 KachelY 69209 0.11883557 -0.17516947 6.808777 -10.036471
    Oben rechts KachelX + 1 68016 KachelY 69209 0.11888351 -0.17516947 6.811523 -10.036471
    Unten links KachelX 68015 KachelY + 1 69210 0.11883557 -0.17521667 6.808777 -10.039176
    Unten rechts KachelX + 1 68016 KachelY + 1 69210 0.11888351 -0.17521667 6.811523 -10.039176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17516947--0.17521667) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17516947--0.17521667) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11883557-0.11888351) × cos(-0.17516947) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984697018658284 × 6371000     		do = 300.751815599477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11883557-0.11888351) × cos(-0.17521667) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984688791780625 × 6371000     		du = 300.74930289928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17516947)-sin(-0.17521667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984697018658284-0.984688791780625)×R²
    abs(0.11888351-0.11883557)×8.22687765889007e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.22687765889007e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.22687765889007e-06×40589641000000     		ar = 90439.0615893258m²