Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68015 / 69012
↖ ↑ ↗
← S  9.503244°
E  6.808777°		 ← 301.23 m → S  9.503244°
E  6.811523°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.505953°
E  6.808777°		 ← 301.23 m →
90 718 m²		 S  9.505953°
E  6.811523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518917083740234 y=0.526523590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518917083740234 × 217)
    floor (0.518917083740234 × 131072)
    floor (68015.5)     		tx = 68015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526523590087891 × 217)
    floor (0.526523590087891 × 131072)
    floor (69012.5)     		ty = 69012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68015 / 69012 ti = "17/68015/69012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68015/69012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68015 ÷ 217
    68015 ÷ 131072     		x = 0.518913269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69012 ÷ 217
    69012 ÷ 131072     		y = 0.526519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518913269042969 × 2 - 1) × π
    0.0378265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11883557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.05303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.166628663079315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11883557} λ = 0.11883557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166628663079315))-π/2
    2×atan(0.84651389484407)-π/2
    2×0.702466715738671-π/2
    1.40493343147734-1.57079632675     		φ = -0.16586290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11883557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.808777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16586290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.503244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68015 KachelY 69012 0.11883557 -0.16586290 6.808777 -9.503244
    Oben rechts KachelX + 1 68016 KachelY 69012 0.11888351 -0.16586290 6.811523 -9.503244
    Unten links KachelX 68015 KachelY + 1 69013 0.11883557 -0.16591017 6.808777 -9.505953
    Unten rechts KachelX + 1 68016 KachelY + 1 69013 0.11888351 -0.16591017 6.811523 -9.505953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16586290--0.16591017) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dl = 301.157169999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16586290--0.16591017) × R
    4.72699999999882e-05 × 6371000     		dr = 301.157169999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11883557-0.11888351) × cos(-0.16586290) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986276254785765 × 6371000     		do = 301.234154962348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11883557-0.11888351) × cos(-0.16591017) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986268449243786 × 6371000     		du = 301.231770948913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16586290)-sin(-0.16591017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986276254785765-0.986268449243786)×R²
    abs(0.11888351-0.11883557)×7.80554197876704e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.80554197876704e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.80554197876704e-06×40589641000000     		ar = 90718.4666512875m²