Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68013 / 68865
↖ ↑ ↗
← S  9.104809°
E  6.803284°		 ← 301.58 m → S  9.104809°
E  6.806030°		 →
↑
301.54 m
↓
↑
301.54 m
↓
S  9.107521°
E  6.803284°		 ← 301.58 m →
90 937 m²		 S  9.107521°
E  6.806030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518901824951172 y=0.525402069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518901824951172 × 217)
    floor (0.518901824951172 × 131072)
    floor (68013.5)     		tx = 68013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525402069091797 × 217)
    floor (0.525402069091797 × 131072)
    floor (68865.5)     		ty = 68865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68013 / 68865 ti = "17/68013/68865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68013/68865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68013 ÷ 217
    68013 ÷ 131072     		x = 0.518898010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68865 ÷ 217
    68865 ÷ 131072     		y = 0.525398254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518898010253906 × 2 - 1) × π
    0.0377960205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11873970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525398254394531 × 2 - 1) × π
    -0.0507965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.159581938835167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11873970} λ = 0.11873970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159581938835167))-π/2
    2×atan(0.852500111668384)-π/2
    2×0.705943718387008-π/2
    1.41188743677402-1.57079632675     		φ = -0.15890889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11873970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.803284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15890889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.104809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68013 KachelY 68865 0.11873970 -0.15890889 6.803284 -9.104809
    Oben rechts KachelX + 1 68014 KachelY 68865 0.11878764 -0.15890889 6.806030 -9.104809
    Unten links KachelX 68013 KachelY + 1 68866 0.11873970 -0.15895622 6.803284 -9.107521
    Unten rechts KachelX + 1 68014 KachelY + 1 68866 0.11878764 -0.15895622 6.806030 -9.107521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15890889--0.15895622) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dl = 301.539430000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15890889--0.15895622) × R
    4.73300000000121e-05 × 6371000     		dr = 301.539430000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11873970-0.11878764) × cos(-0.15890889) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98740052937219 × 6371000     		do = 301.57753735987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11873970-0.11878764) × cos(-0.15895622) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.987393038722625 × 6371000     		du = 301.575249522683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15890889)-sin(-0.15895622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98740052937219-0.987393038722625)×R²
    abs(0.11878764-0.11873970)×7.49064956528933e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.49064956528933e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.49064956528933e-06×40589641000000     		ar = 90937.1737967293m²