Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68012 / 69259
↖ ↑ ↗
← S 10.171670°
E  6.800537°		 ← 300.63 m → S 10.171670°
E  6.803284°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
S 10.174374°
E  6.800537°		 ← 300.62 m →
90 382 m²		 S 10.174374°
E  6.803284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518894195556641 y=0.528408050537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518894195556641 × 217)
    floor (0.518894195556641 × 131072)
    floor (68012.5)     		tx = 68012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528408050537109 × 217)
    floor (0.528408050537109 × 131072)
    floor (69259.5)     		ty = 69259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68012 / 69259 ti = "17/68012/69259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68012/69259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68012 ÷ 217
    68012 ÷ 131072     		x = 0.518890380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69259 ÷ 217
    69259 ÷ 131072     		y = 0.528404235839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518890380859375 × 2 - 1) × π
    0.03778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11869176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528404235839844 × 2 - 1) × π
    -0.0568084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.178469077285469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11869176} λ = 0.11869176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178469077285469))-π/2
    2×atan(0.836549924871954)-π/2
    2×0.696633591984114-π/2
    1.39326718396823-1.57079632675     		φ = -0.17752914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11869176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.800537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17752914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.171670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68012 KachelY 69259 0.11869176 -0.17752914 6.800537 -10.171670
    Oben rechts KachelX + 1 68013 KachelY 69259 0.11873970 -0.17752914 6.803284 -10.171670
    Unten links KachelX 68012 KachelY + 1 69260 0.11869176 -0.17757633 6.800537 -10.174374
    Unten rechts KachelX + 1 68013 KachelY + 1 69260 0.11873970 -0.17757633 6.803284 -10.174374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17752914--0.17757633) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17752914--0.17757633) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11869176-0.11873970) × cos(-0.17752914) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.984283046095098 × 6371000     		do = 300.625377723113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11869176-0.11873970) × cos(-0.17757633) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.984274711335316 × 6371000     		du = 300.622832072939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17752914)-sin(-0.17757633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984283046095098-0.984274711335316)×R²
    abs(0.11873970-0.11869176)×8.33475978234688e-06×R²
    4.79400000000102e-05×8.33475978234688e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×8.33475978234688e-06×40589641000000     		ar = 90381.8825878701m²