Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68011 / 68681
↖ ↑ ↗
← S  8.605463°
E  6.797791°		 ← 301.92 m → S  8.605463°
E  6.800537°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.608179°
E  6.797791°		 ← 301.92 m →
91 176 m²		 S  8.608179°
E  6.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518886566162109 y=0.523998260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518886566162109 × 217)
    floor (0.518886566162109 × 131072)
    floor (68011.5)     		tx = 68011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523998260498047 × 217)
    floor (0.523998260498047 × 131072)
    floor (68681.5)     		ty = 68681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68011 / 68681 ti = "17/68011/68681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68011/68681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68011 ÷ 217
    68011 ÷ 131072     		x = 0.518882751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68681 ÷ 217
    68681 ÷ 131072     		y = 0.523994445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518882751464844 × 2 - 1) × π
    0.0377655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11864383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523994445800781 × 2 - 1) × π
    -0.0479888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.150761549305077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11864383} λ = 0.11864383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150761549305077))-π/2
    2×atan(0.860052754387348)-π/2
    2×0.710301332280623-π/2
    1.42060266456125-1.57079632675     		φ = -0.15019366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11864383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.797791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15019366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.605463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68011 KachelY 68681 0.11864383 -0.15019366 6.797791 -8.605463
    Oben rechts KachelX + 1 68012 KachelY 68681 0.11869176 -0.15019366 6.800537 -8.605463
    Unten links KachelX 68011 KachelY + 1 68682 0.11864383 -0.15024106 6.797791 -8.608179
    Unten rechts KachelX + 1 68012 KachelY + 1 68682 0.11869176 -0.15024106 6.800537 -8.608179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15019366--0.15024106) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15019366--0.15024106) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11864383-0.11869176) × cos(-0.15019366) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.988742119205956 × 6371000     		do = 301.924300667155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11864383-0.11869176) × cos(-0.15024106) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.988735025651471 × 6371000     		du = 301.922134564958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15019366)-sin(-0.15024106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988742119205956-0.988735025651471)×R²
    abs(0.11869176-0.11864383)×7.09355448513804e-06×R²
    4.79299999999877e-05×7.09355448513804e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×7.09355448513804e-06×40589641000000     		ar = 91176.4036581083m²