Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68010 / 68682
↖ ↑ ↗
← S  8.608179°
E  6.795044°		 ← 301.99 m → S  8.608179°
E  6.797791°		 →
↑
301.99 m
↓
↑
301.99 m
↓
S  8.610894°
E  6.795044°		 ← 301.98 m →
91 195 m²		 S  8.610894°
E  6.797791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518878936767578 y=0.524005889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518878936767578 × 217)
    floor (0.518878936767578 × 131072)
    floor (68010.5)     		tx = 68010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524005889892578 × 217)
    floor (0.524005889892578 × 131072)
    floor (68682.5)     		ty = 68682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68010 / 68682 ti = "17/68010/68682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68010/68682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68010 ÷ 217
    68010 ÷ 131072     		x = 0.518875122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68682 ÷ 217
    68682 ÷ 131072     		y = 0.524002075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518875122070312 × 2 - 1) × π
    0.037750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11859589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524002075195312 × 2 - 1) × π
    -0.048004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.150809486204697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11859589} λ = 0.11859589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.150809486204697))-π/2
    2×atan(0.860011527112955)-π/2
    2×0.710277633749773-π/2
    1.42055526749955-1.57079632675     		φ = -0.15024106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11859589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.795044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15024106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.608179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68010 KachelY 68682 0.11859589 -0.15024106 6.795044 -8.608179
    Oben rechts KachelX + 1 68011 KachelY 68682 0.11864383 -0.15024106 6.797791 -8.608179
    Unten links KachelX 68010 KachelY + 1 68683 0.11859589 -0.15028846 6.795044 -8.610894
    Unten rechts KachelX + 1 68011 KachelY + 1 68683 0.11864383 -0.15028846 6.797791 -8.610894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15024106--0.15028846) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dl = 301.985400000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15024106--0.15028846) × R
    4.7400000000003e-05 × 6371000     		dr = 301.985400000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11859589-0.11864383) × cos(-0.15024106) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988735025651471 × 6371000     		do = 301.985126873584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11859589-0.11864383) × cos(-0.15028846) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988727929875536 × 6371000     		du = 301.982959640968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15024106)-sin(-0.15028846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988735025651471-0.988727929875536)×R²
    abs(0.11864383-0.11859589)×7.09577593538402e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.09577593538402e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.09577593538402e-06×40589641000000     		ar = 91194.772113748m²