Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68009 / 69205
↖ ↑ ↗
← S 10.025653°
E  6.792297°		 ← 300.76 m → S 10.025653°
E  6.795044°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.028358°
E  6.792297°		 ← 300.76 m →
90 442 m²		 S 10.028358°
E  6.795044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518871307373047 y=0.527996063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518871307373047 × 217)
    floor (0.518871307373047 × 131072)
    floor (68009.5)     		tx = 68009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527996063232422 × 217)
    floor (0.527996063232422 × 131072)
    floor (69205.5)     		ty = 69205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68009 / 69205 ti = "17/68009/69205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68009/69205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68009 ÷ 217
    68009 ÷ 131072     		x = 0.518867492675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69205 ÷ 217
    69205 ÷ 131072     		y = 0.527992248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518867492675781 × 2 - 1) × π
    0.0377349853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11854795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527992248535156 × 2 - 1) × π
    -0.0559844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.175880484705986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11854795} λ = 0.11854795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175880484705986))-π/2
    2×atan(0.838718217001527)-π/2
    2×0.697907835731259-π/2
    1.39581567146252-1.57079632675     		φ = -0.17498066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11854795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.792297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17498066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.025653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68009 KachelY 69205 0.11854795 -0.17498066 6.792297 -10.025653
    Oben rechts KachelX + 1 68010 KachelY 69205 0.11859589 -0.17498066 6.795044 -10.025653
    Unten links KachelX 68009 KachelY + 1 69206 0.11854795 -0.17502786 6.792297 -10.028358
    Unten rechts KachelX + 1 68010 KachelY + 1 69206 0.11859589 -0.17502786 6.795044 -10.028358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17498066--0.17502786) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17498066--0.17502786) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11854795-0.11859589) × cos(-0.17498066) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984729905972153 × 6371000     		do = 300.761860231652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11854795-0.11859589) × cos(-0.17502786) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984721687870058 × 6371000     		du = 300.759350211739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17498066)-sin(-0.17502786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984729905972153-0.984721687870058)×R²
    abs(0.11859589-0.11854795)×8.2181020945038e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.2181020945038e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.2181020945038e-06×40589641000000     		ar = 90442.0825257444m²