Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68008 / 68807
↖ ↑ ↗
← S  8.947480°
E  6.789551°		 ← 301.65 m → S  8.947480°
E  6.792297°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.950193°
E  6.789551°		 ← 301.64 m →
90 996 m²		 S  8.950193°
E  6.792297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518863677978516 y=0.524959564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518863677978516 × 217)
    floor (0.518863677978516 × 131072)
    floor (68008.5)     		tx = 68008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524959564208984 × 217)
    floor (0.524959564208984 × 131072)
    floor (68807.5)     		ty = 68807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68008 / 68807 ti = "17/68008/68807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68008/68807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68008 ÷ 217
    68008 ÷ 131072     		x = 0.51885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68807 ÷ 217
    68807 ÷ 131072     		y = 0.524955749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51885986328125 × 2 - 1) × π
    0.0377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11850002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524955749511719 × 2 - 1) × π
    -0.0499114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.156801598657204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11850002} λ = 0.11850002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156801598657204))-π/2
    2×atan(0.854873650073658)-π/2
    2×0.707316673346979-π/2
    1.41463334669396-1.57079632675     		φ = -0.15616298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11850002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15616298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.947480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68008 KachelY 68807 0.11850002 -0.15616298 6.789551 -8.947480
    Oben rechts KachelX + 1 68009 KachelY 68807 0.11854795 -0.15616298 6.792297 -8.947480
    Unten links KachelX 68008 KachelY + 1 68808 0.11850002 -0.15621033 6.789551 -8.950193
    Unten rechts KachelX + 1 68009 KachelY + 1 68808 0.11854795 -0.15621033 6.792297 -8.950193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15616298--0.15621033) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15616298--0.15621033) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11850002-0.11854795) × cos(-0.15616298) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987831321693011 × 6371000     		do = 301.646177689771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11850002-0.11854795) × cos(-0.15621033) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987823956285965 × 6371000     		du = 301.643928574123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15616298)-sin(-0.15621033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987831321693011-0.987823956285965)×R²
    abs(0.11854795-0.11850002)×7.36540704571187e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.36540704571187e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.36540704571187e-06×40589641000000     		ar = 90996.3130134432m²