Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68007 / 69265
↖ ↑ ↗
← S 10.187891°
E  6.786804°		 ← 300.61 m → S 10.187891°
E  6.789551°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
S 10.190594°
E  6.786804°		 ← 300.61 m →
90 358 m²		 S 10.190594°
E  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518856048583984 y=0.528453826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518856048583984 × 217)
    floor (0.518856048583984 × 131072)
    floor (68007.5)     		tx = 68007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528453826904297 × 217)
    floor (0.528453826904297 × 131072)
    floor (69265.5)     		ty = 69265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68007 / 69265 ti = "17/68007/69265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68007/69265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68007 ÷ 217
    68007 ÷ 131072     		x = 0.518852233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69265 ÷ 217
    69265 ÷ 131072     		y = 0.528450012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518852233886719 × 2 - 1) × π
    0.0377044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11845208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528450012207031 × 2 - 1) × π
    -0.0569000244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.178756698683189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11845208} λ = 0.11845208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178756698683189))-π/2
    2×atan(0.836309349812225)-π/2
    2×0.696492045148193-π/2
    1.39298409029639-1.57079632675     		φ = -0.17781224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11845208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.786804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17781224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.187891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68007 KachelY 69265 0.11845208 -0.17781224 6.786804 -10.187891
    Oben rechts KachelX + 1 68008 KachelY 69265 0.11850002 -0.17781224 6.789551 -10.187891
    Unten links KachelX 68007 KachelY + 1 69266 0.11845208 -0.17785942 6.786804 -10.190594
    Unten rechts KachelX + 1 68008 KachelY + 1 69266 0.11850002 -0.17785942 6.789551 -10.190594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17781224--0.17785942) × R
    4.717999999998e-05 × 6371000     		dl = 300.583779999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17781224--0.17785942) × R
    4.717999999998e-05 × 6371000     		dr = 300.583779999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11845208-0.11850002) × cos(-0.17781224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984233011733682 × 6371000     		do = 300.610095941166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11845208-0.11850002) × cos(-0.17785942) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.984224665594003 × 6371000     		du = 300.607546815278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17781224)-sin(-0.17785942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984233011733682-0.984224665594003)×R²
    abs(0.11850002-0.11845208)×8.34613967937159e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.34613967937159e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.34613967937159e-06×40589641000000     		ar = 90358.1358479027m²