Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68007 / 68331
↖ ↑ ↗
← S  7.653831°
E  6.786804°		 ← 302.70 m → S  7.653831°
E  6.789551°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
S  7.656553°
E  6.786804°		 ← 302.70 m →
91 624 m²		 S  7.656553°
E  6.789551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518856048583984 y=0.521327972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518856048583984 × 217)
    floor (0.518856048583984 × 131072)
    floor (68007.5)     		tx = 68007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521327972412109 × 217)
    floor (0.521327972412109 × 131072)
    floor (68331.5)     		ty = 68331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68007 / 68331 ti = "17/68007/68331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68007/68331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68007 ÷ 217
    68007 ÷ 131072     		x = 0.518852233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68331 ÷ 217
    68331 ÷ 131072     		y = 0.521324157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518852233886719 × 2 - 1) × π
    0.0377044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11845208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521324157714844 × 2 - 1) × π
    -0.0426483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.133983634438057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11845208} λ = 0.11845208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133983634438057))-π/2
    2×atan(0.874604377878333)-π/2
    2×0.718605886519391-π/2
    1.43721177303878-1.57079632675     		φ = -0.13358455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11845208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.786804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13358455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.653831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68007 KachelY 68331 0.11845208 -0.13358455 6.786804 -7.653831
    Oben rechts KachelX + 1 68008 KachelY 68331 0.11850002 -0.13358455 6.789551 -7.653831
    Unten links KachelX 68007 KachelY + 1 68332 0.11845208 -0.13363206 6.786804 -7.656553
    Unten rechts KachelX + 1 68008 KachelY + 1 68332 0.11850002 -0.13363206 6.789551 -7.656553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13358455--0.13363206) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13358455--0.13363206) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11845208-0.11850002) × cos(-0.13358455) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99109084436205 × 6371000     		do = 302.704654546481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11845208-0.11850002) × cos(-0.13363206) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991084515500377 × 6371000     		du = 302.702721549221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13358455)-sin(-0.13363206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99109084436205-0.991084515500377)×R²
    abs(0.11850002-0.11845208)×6.32886167351021e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.32886167351021e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.32886167351021e-06×40589641000000     		ar = 91624.2321054675m²