Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68006 / 68940
↖ ↑ ↗
← S  9.308149°
E  6.784057°		 ← 301.40 m → S  9.308149°
E  6.786804°		 →
↑
301.41 m
↓
↑
301.41 m
↓
S  9.310859°
E  6.784057°		 ← 301.40 m →
90 846 m²		 S  9.310859°
E  6.786804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518848419189453 y=0.525974273681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518848419189453 × 217)
    floor (0.518848419189453 × 131072)
    floor (68006.5)     		tx = 68006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525974273681641 × 217)
    floor (0.525974273681641 × 131072)
    floor (68940.5)     		ty = 68940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68006 / 68940 ti = "17/68006/68940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68006/68940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68006 ÷ 217
    68006 ÷ 131072     		x = 0.518844604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68940 ÷ 217
    68940 ÷ 131072     		y = 0.525970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518844604492188 × 2 - 1) × π
    0.037689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11840414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.05194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.163177206306671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11840414} λ = 0.11840414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163177206306671))-π/2
    2×atan(0.849440648836586)-π/2
    2×0.704169242425217-π/2
    1.40833848485043-1.57079632675     		φ = -0.16245784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11840414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.784057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16245784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.308149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68006 KachelY 68940 0.11840414 -0.16245784 6.784057 -9.308149
    Oben rechts KachelX + 1 68007 KachelY 68940 0.11845208 -0.16245784 6.786804 -9.308149
    Unten links KachelX 68006 KachelY + 1 68941 0.11840414 -0.16250515 6.784057 -9.310859
    Unten rechts KachelX + 1 68007 KachelY + 1 68941 0.11845208 -0.16250515 6.786804 -9.310859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16245784--0.16250515) × R
    4.73099999999949e-05 × 6371000     		dl = 301.412009999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16245784--0.16250515) × R
    4.73099999999949e-05 × 6371000     		dr = 301.412009999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11840414-0.11845208) × cos(-0.16245784) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98683272320155 × 6371000     		do = 301.404114740025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11840414-0.11845208) × cos(-0.16250515) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986825069980504 × 6371000     		du = 301.401777249324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16245784)-sin(-0.16250515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98683272320155-0.986825069980504)×R²
    abs(0.11845208-0.11840414)×7.65322104601118e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.65322104601118e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.65322104601118e-06×40589641000000     		ar = 90846.4677891064m²