Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68005 / 72489
↖ ↑ ↗
← S 18.752910°
E  6.781311°		 ← 289.15 m → S 18.752910°
E  6.784057°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
S 18.755512°
E  6.781311°		 ← 289.15 m →
83 635 m²		 S 18.755512°
E  6.784057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518840789794922 y=0.553050994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518840789794922 × 217)
    floor (0.518840789794922 × 131072)
    floor (68005.5)     		tx = 68005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553050994873047 × 217)
    floor (0.553050994873047 × 131072)
    floor (72489.5)     		ty = 72489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68005 / 72489 ti = "17/68005/72489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68005/72489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68005 ÷ 217
    68005 ÷ 131072     		x = 0.518836975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72489 ÷ 217
    72489 ÷ 131072     		y = 0.553047180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518836975097656 × 2 - 1) × π
    0.0376739501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11835621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553047180175781 × 2 - 1) × π
    -0.106094360351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.33330526305825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11835621} λ = 0.11835621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.33330526305825))-π/2
    2×atan(0.716551424087077)-π/2
    2×0.621748146167054-π/2
    1.24349629233411-1.57079632675     		φ = -0.32730003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11835621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.781311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32730003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.752910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68005 KachelY 72489 0.11835621 -0.32730003 6.781311 -18.752910
    Oben rechts KachelX + 1 68006 KachelY 72489 0.11840414 -0.32730003 6.784057 -18.752910
    Unten links KachelX 68005 KachelY + 1 72490 0.11835621 -0.32734543 6.781311 -18.755512
    Unten rechts KachelX + 1 68006 KachelY + 1 72490 0.11840414 -0.32734543 6.784057 -18.755512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32730003--0.32734543) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dl = 289.24339999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32730003--0.32734543) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dr = 289.24339999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11835621-0.11840414) × cos(-0.32730003) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.946913800675157 × 6371000     		do = 289.151520409191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11835621-0.11840414) × cos(-0.32734543) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.946899204163865 × 6371000     		du = 289.147063188872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32730003)-sin(-0.32734543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946913800675157-0.946899204163865)×R²
    abs(0.11840414-0.11835621)×1.45965112910984e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.45965112910984e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.45965112910984e-05×40589641000000     		ar = 83634.524281849m²