Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68004 / 69212
↖ ↑ ↗
← S 10.044585°
E  6.778565°		 ← 300.74 m → S 10.044585°
E  6.781311°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
S 10.047289°
E  6.778565°		 ← 300.74 m →
90 437 m²		 S 10.047289°
E  6.781311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518833160400391 y=0.528049468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518833160400391 × 217)
    floor (0.518833160400391 × 131072)
    floor (68004.5)     		tx = 68004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528049468994141 × 217)
    floor (0.528049468994141 × 131072)
    floor (69212.5)     		ty = 69212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68004 / 69212 ti = "17/68004/69212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68004/69212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68004 ÷ 217
    68004 ÷ 131072     		x = 0.518829345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69212 ÷ 217
    69212 ÷ 131072     		y = 0.528045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518829345703125 × 2 - 1) × π
    0.03765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11830827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.05609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.176216043003326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11830827} λ = 0.11830827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.176216043003326))-π/2
    2×atan(0.838436825358972)-π/2
    2×0.697742623414489-π/2
    1.39548524682898-1.57079632675     		φ = -0.17531108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11830827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.778565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17531108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.044585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68004 KachelY 69212 0.11830827 -0.17531108 6.778565 -10.044585
    Oben rechts KachelX + 1 68005 KachelY 69212 0.11835621 -0.17531108 6.781311 -10.044585
    Unten links KachelX 68004 KachelY + 1 69213 0.11830827 -0.17535828 6.778565 -10.047289
    Unten rechts KachelX + 1 68005 KachelY + 1 69213 0.11835621 -0.17535828 6.781311 -10.047289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17531108--0.17535828) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17531108--0.17535828) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11830827-0.11835621) × cos(-0.17531108) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.984672329699994 × 6371000     		do = 300.744274956209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11830827-0.11835621) × cos(-0.17535828) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.984664096240738 × 6371000     		du = 300.741760245823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17531108)-sin(-0.17535828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984672329699994-0.984664096240738)×R²
    abs(0.11835621-0.11830827)×8.23345925582419e-06×R²
    4.79400000000102e-05×8.23345925582419e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×8.23345925582419e-06×40589641000000     		ar = 90436.7937312416m²