Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68003 / 68642
↖ ↑ ↗
← S  8.499537°
E  6.775818°		 ← 302.07 m → S  8.499537°
E  6.778565°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.502254°
E  6.775818°		 ← 302.07 m →
91 240 m²		 S  8.502254°
E  6.778565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518825531005859 y=0.523700714111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518825531005859 × 217)
    floor (0.518825531005859 × 131072)
    floor (68003.5)     		tx = 68003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523700714111328 × 217)
    floor (0.523700714111328 × 131072)
    floor (68642.5)     		ty = 68642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68003 / 68642 ti = "17/68003/68642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68003/68642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68003 ÷ 217
    68003 ÷ 131072     		x = 0.518821716308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68642 ÷ 217
    68642 ÷ 131072     		y = 0.523696899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518821716308594 × 2 - 1) × π
    0.0376434326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11826033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523696899414062 × 2 - 1) × π
    -0.047393798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.148892010219894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11826033} λ = 0.11826033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148892010219894))-π/2
    2×atan(0.861662160582123)-π/2
    2×0.711225707057906-π/2
    1.42245141411581-1.57079632675     		φ = -0.14834491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11826033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.775818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14834491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.499537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68003 KachelY 68642 0.11826033 -0.14834491 6.775818 -8.499537
    Oben rechts KachelX + 1 68004 KachelY 68642 0.11830827 -0.14834491 6.778565 -8.499537
    Unten links KachelX 68003 KachelY + 1 68643 0.11826033 -0.14839232 6.775818 -8.502254
    Unten rechts KachelX + 1 68004 KachelY + 1 68643 0.11830827 -0.14839232 6.778565 -8.502254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14834491--0.14839232) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14834491--0.14839232) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11826033-0.11830827) × cos(-0.14834491) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989017057100474 × 6371000     		do = 302.071266537511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11826033-0.11830827) × cos(-0.14839232) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989010048723481 × 6371000     		du = 302.069125998782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14834491)-sin(-0.14839232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989017057100474-0.989010048723481)×R²
    abs(0.11830827-0.11826033)×7.00837699252332e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.00837699252332e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.00837699252332e-06×40589641000000     		ar = 91240.03395738m²