Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68002 / 69020
↖ ↑ ↗
← S  9.524915°
E  6.773071°		 ← 301.22 m → S  9.524915°
E  6.775818°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.527623°
E  6.773071°		 ← 301.21 m →
90 713 m²		 S  9.527623°
E  6.775818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518817901611328 y=0.526584625244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518817901611328 × 217)
    floor (0.518817901611328 × 131072)
    floor (68002.5)     		tx = 68002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526584625244141 × 217)
    floor (0.526584625244141 × 131072)
    floor (69020.5)     		ty = 69020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68002 / 69020 ti = "17/68002/69020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68002/69020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68002 ÷ 217
    68002 ÷ 131072     		x = 0.518814086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69020 ÷ 217
    69020 ÷ 131072     		y = 0.526580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518814086914062 × 2 - 1) × π
    0.037628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11821239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.05316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.167012158276276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11821239} λ = 0.11821239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167012158276276))-π/2
    2×atan(0.846189323071073)-π/2
    2×0.702277605626685-π/2
    1.40455521125337-1.57079632675     		φ = -0.16624112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11821239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.773071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16624112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.524915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68002 KachelY 69020 0.11821239 -0.16624112 6.773071 -9.524915
    Oben rechts KachelX + 1 68003 KachelY 69020 0.11826033 -0.16624112 6.775818 -9.524915
    Unten links KachelX 68002 KachelY + 1 69021 0.11821239 -0.16628839 6.773071 -9.527623
    Unten rechts KachelX + 1 68003 KachelY + 1 69021 0.11826033 -0.16628839 6.775818 -9.527623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16624112--0.16628839) × R
    4.72700000000159e-05 × 6371000     		dl = 301.157170000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16624112--0.16628839) × R
    4.72700000000159e-05 × 6371000     		dr = 301.157170000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11821239-0.11826033) × cos(-0.16624112) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986213738816754 × 6371000     		do = 301.215060976251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11821239-0.11826033) × cos(-0.16628839) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986205915642304 × 6371000     		du = 301.212671577405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16624112)-sin(-0.16628839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986213738816754-0.986205915642304)×R²
    abs(0.11826033-0.11821239)×7.82317445024994e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.82317445024994e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.82317445024994e-06×40589641000000     		ar = 90712.715549623m²