Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68002 / 68334
↖ ↑ ↗
← S  7.661997°
E  6.773071°		 ← 302.70 m → S  7.661997°
E  6.775818°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
S  7.664719°
E  6.773071°		 ← 302.70 m →
91 622 m²		 S  7.664719°
E  6.775818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518817901611328 y=0.521350860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518817901611328 × 217)
    floor (0.518817901611328 × 131072)
    floor (68002.5)     		tx = 68002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521350860595703 × 217)
    floor (0.521350860595703 × 131072)
    floor (68334.5)     		ty = 68334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68002 / 68334 ti = "17/68002/68334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68002/68334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68002 ÷ 217
    68002 ÷ 131072     		x = 0.518814086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68334 ÷ 217
    68334 ÷ 131072     		y = 0.521347045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518814086914062 × 2 - 1) × π
    0.037628173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11821239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521347045898438 × 2 - 1) × π
    -0.042694091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.134127445136917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11821239} λ = 0.11821239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.134127445136917))-π/2
    2×atan(0.874478609455163)-π/2
    2×0.718534622468678-π/2
    1.43706924493736-1.57079632675     		φ = -0.13372708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11821239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.773071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13372708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.661997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68002 KachelY 68334 0.11821239 -0.13372708 6.773071 -7.661997
    Oben rechts KachelX + 1 68003 KachelY 68334 0.11826033 -0.13372708 6.775818 -7.661997
    Unten links KachelX 68002 KachelY + 1 68335 0.11821239 -0.13377459 6.773071 -7.664719
    Unten rechts KachelX + 1 68003 KachelY + 1 68335 0.11826033 -0.13377459 6.775818 -7.664719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13372708--0.13377459) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13372708--0.13377459) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11821239-0.11826033) × cos(-0.13372708) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991071851065816 × 6371000     		do = 302.698853504923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11821239-0.11826033) × cos(-0.13377459) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.991065515492957 × 6371000     		du = 302.696918457895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13372708)-sin(-0.13377459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991071851065816-0.991065515492957)×R²
    abs(0.11826033-0.11821239)×6.33557285878439e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.33557285878439e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.33557285878439e-06×40589641000000     		ar = 91622.4758999455m²