Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68001 / 69019
↖ ↑ ↗
← S  9.522206°
E  6.770325°		 ← 301.15 m → S  9.522206°
E  6.773071°		 →
↑
301.22 m
↓
↑
301.22 m
↓
S  9.524915°
E  6.770325°		 ← 301.15 m →
90 714 m²		 S  9.524915°
E  6.773071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518810272216797 y=0.526576995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518810272216797 × 217)
    floor (0.518810272216797 × 131072)
    floor (68001.5)     		tx = 68001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526576995849609 × 217)
    floor (0.526576995849609 × 131072)
    floor (69019.5)     		ty = 69019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68001 / 69019 ti = "17/68001/69019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68001/69019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68001 ÷ 217
    68001 ÷ 131072     		x = 0.518806457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69019 ÷ 217
    69019 ÷ 131072     		y = 0.526573181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518806457519531 × 2 - 1) × π
    0.0376129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11816446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526573181152344 × 2 - 1) × π
    -0.0531463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.166964221376656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11816446} λ = 0.11816446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166964221376656))-π/2
    2×atan(0.846229887735977)-π/2
    2×0.702301243734948-π/2
    1.4046024874699-1.57079632675     		φ = -0.16619384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11816446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.770325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16619384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.522206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68001 KachelY 69019 0.11816446 -0.16619384 6.770325 -9.522206
    Oben rechts KachelX + 1 68002 KachelY 69019 0.11821239 -0.16619384 6.773071 -9.522206
    Unten links KachelX 68001 KachelY + 1 69020 0.11816446 -0.16624112 6.770325 -9.524915
    Unten rechts KachelX + 1 68002 KachelY + 1 69020 0.11821239 -0.16624112 6.773071 -9.524915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16619384--0.16624112) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dl = 301.220879999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16619384--0.16624112) × R
    4.72799999999829e-05 × 6371000     		dr = 301.220879999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11816446-0.11821239) × cos(-0.16619384) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986221561441855 × 6371000     		do = 301.154618031664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11816446-0.11821239) × cos(-0.16624112) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986213738816754 × 6371000     		du = 301.152229298984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16619384)-sin(-0.16624112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986221561441855-0.986213738816754)×R²
    abs(0.11821239-0.11816446)×7.82262510057308e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.82262510057308e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.82262510057308e-06×40589641000000     		ar = 90713.6993083516m²