Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68001 / 68949
↖ ↑ ↗
← S  9.332542°
E  6.770325°		 ← 301.32 m → S  9.332542°
E  6.773071°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.335252°
E  6.770325°		 ← 301.32 m →
90 802 m²		 S  9.335252°
E  6.773071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518810272216797 y=0.526042938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518810272216797 × 217)
    floor (0.518810272216797 × 131072)
    floor (68001.5)     		tx = 68001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526042938232422 × 217)
    floor (0.526042938232422 × 131072)
    floor (68949.5)     		ty = 68949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68001 / 68949 ti = "17/68001/68949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68001/68949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68001 ÷ 217
    68001 ÷ 131072     		x = 0.518806457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68949 ÷ 217
    68949 ÷ 131072     		y = 0.526039123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518806457519531 × 2 - 1) × π
    0.0376129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11816446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526039123535156 × 2 - 1) × π
    -0.0520782470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.163608638403252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11816446} λ = 0.11816446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163608638403252))-π/2
    2×atan(0.849074251919916)-π/2
    2×0.703956374203575-π/2
    1.40791274840715-1.57079632675     		φ = -0.16288358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11816446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.770325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16288358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.332542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68001 KachelY 68949 0.11816446 -0.16288358 6.770325 -9.332542
    Oben rechts KachelX + 1 68002 KachelY 68949 0.11821239 -0.16288358 6.773071 -9.332542
    Unten links KachelX 68001 KachelY + 1 68950 0.11816446 -0.16293088 6.770325 -9.335252
    Unten rechts KachelX + 1 68002 KachelY + 1 68950 0.11821239 -0.16293088 6.773071 -9.335252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16288358--0.16293088) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16288358--0.16293088) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11816446-0.11821239) × cos(-0.16288358) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986763772806882 × 6371000     		do = 301.320188794778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11816446-0.11821239) × cos(-0.16293088) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986756101332169 × 6371000     		du = 301.317846217687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16288358)-sin(-0.16293088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986763772806882-0.986756101332169)×R²
    abs(0.11821239-0.11816446)×7.6714747123674e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.6714747123674e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.6714747123674e-06×40589641000000     		ar = 90801.9737000991m²