Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68001 / 68903
↖ ↑ ↗
← S  9.207849°
E  6.770325°		 ← 301.43 m → S  9.207849°
E  6.773071°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.210560°
E  6.770325°		 ← 301.42 m →
90 873 m²		 S  9.210560°
E  6.773071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518810272216797 y=0.525691986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518810272216797 × 217)
    floor (0.518810272216797 × 131072)
    floor (68001.5)     		tx = 68001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525691986083984 × 217)
    floor (0.525691986083984 × 131072)
    floor (68903.5)     		ty = 68903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68001 / 68903 ti = "17/68001/68903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68001/68903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68001 ÷ 217
    68001 ÷ 131072     		x = 0.518806457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68903 ÷ 217
    68903 ÷ 131072     		y = 0.525688171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518806457519531 × 2 - 1) × π
    0.0376129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11816446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525688171386719 × 2 - 1) × π
    -0.0513763427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.161403541020729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11816446} λ = 0.11816446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161403541020729))-π/2
    2×atan(0.850948609140995)-π/2
    2×0.705044522994328-π/2
    1.41008904598866-1.57079632675     		φ = -0.16070728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11816446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.770325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16070728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.207849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68001 KachelY 68903 0.11816446 -0.16070728 6.770325 -9.207849
    Oben rechts KachelX + 1 68002 KachelY 68903 0.11821239 -0.16070728 6.773071 -9.207849
    Unten links KachelX 68001 KachelY + 1 68904 0.11816446 -0.16075460 6.770325 -9.210560
    Unten rechts KachelX + 1 68002 KachelY + 1 68904 0.11821239 -0.16075460 6.773071 -9.210560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16070728--0.16075460) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dl = 301.475719999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16070728--0.16075460) × R
    4.73199999999896e-05 × 6371000     		dr = 301.475719999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11816446-0.11821239) × cos(-0.16070728) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987114353876103 × 6371000     		do = 301.427242941755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11816446-0.11821239) × cos(-0.16075460) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.987106780794286 × 6371000     		du = 301.424930410118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16070728)-sin(-0.16075460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987114353876103-0.987106780794286)×R²
    abs(0.11821239-0.11816446)×7.57308181642546e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.57308181642546e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.57308181642546e-06×40589641000000     		ar = 90872.6465243453m²