Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 680 / 1460
↖ ↑ ↗
← S 60.586967°
W 60.468750°		 ← 9 599.06 m → S 60.586967°
W 60.292969°		 →
↑
9 586.25 m
↓
↑
9 586.25 m
↓
S 60.673178°
W 60.468750°		 ← 9 573.43 m →
91 896 228 m²		 S 60.673178°
W 60.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.332275390625 y=0.713134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.332275390625 × 211)
    floor (0.332275390625 × 2048)
    floor (680.5)     		tx = 680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.713134765625 × 211)
    floor (0.713134765625 × 2048)
    floor (1460.5)     		ty = 1460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 680 / 1460 ti = "11/680/1460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/680/1460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 680 ÷ 211
    680 ÷ 2048     		x = 0.33203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1460 ÷ 211
    1460 ÷ 2048     		y = 0.712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33203125 × 2 - 1) × π
    -0.3359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.05537878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.712890625 × 2 - 1) × π
    -0.42578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.33763124699805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.05537878} λ = -1.05537878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.33763124699805))-π/2
    2×atan(0.262466651481018)-π/2
    2×0.25667713144649-π/2
    0.51335426289298-1.57079632675     		φ = -1.05744206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.05537878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.05744206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -60.586967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 680 KachelY 1460 -1.05537878 -1.05744206 -60.468750 -60.586967
    Oben rechts KachelX + 1 681 KachelY 1460 -1.05231082 -1.05744206 -60.292969 -60.586967
    Unten links KachelX 680 KachelY + 1 1461 -1.05537878 -1.05894673 -60.468750 -60.673178
    Unten rechts KachelX + 1 681 KachelY + 1 1461 -1.05231082 -1.05894673 -60.292969 -60.673178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.05744206--1.05894673) × R
    0.00150466999999987 × 6371000     		dl = 9586.2525699992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.05744206--1.05894673) × R
    0.00150466999999987 × 6371000     		dr = 9586.2525699992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.05537878--1.05231082) × cos(-1.05744206) × R
    0.00306796000000009 × 0.491101913051552 × 6371000     		do = 9599.06481133057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.05537878--1.05231082) × cos(-1.05894673) × R
    0.00306796000000009 × 0.489790636377664 × 6371000     		du = 9573.43463265742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.05744206)-sin(-1.05894673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491101913051552-0.489790636377664)×R²
    abs(-1.05231082--1.05537878)×0.00131127667388814×R²
    0.00306796000000009×0.00131127667388814×6371000²
    0.00306796000000009×0.00131127667388814×40589641000000     		ar = 91896228.3721162m²