Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 68 / 101
↖ ↑ ↗
← S 71.524909°
E 11.250000°		 ← 99.104 km → S 71.524909°
E 14.062500°		 →
↑
96.828 km
↓
↑
96.828 km
↓
S 72.395706°
E 11.250000°		 ← 94.584 km →
9 377.40 km²		 S 72.395706°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53515625 y=0.79296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53515625 × 27)
    floor (0.53515625 × 128)
    floor (68.5)     		tx = 68
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79296875 × 27)
    floor (0.79296875 × 128)
    floor (101.5)     		ty = 101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 68 / 101 ti = "7/68/101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/68/101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68 ÷ 27
    68 ÷ 128     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101 ÷ 27
    101 ÷ 128     		y = 0.7890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7890625 × 2 - 1) × π
    -0.578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81623325280469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81623325280469))-π/2
    2×atan(0.16263721186318)-π/2
    2×0.161225583460261-π/2
    0.322451166920523-1.57079632675     		φ = -1.24834516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24834516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.524909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68 KachelY 101 0.19634954 -1.24834516 11.250000 -71.524909
    Oben rechts KachelX + 1 69 KachelY 101 0.24543693 -1.24834516 14.062500 -71.524909
    Unten links KachelX 68 KachelY + 1 102 0.19634954 -1.26354343 11.250000 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 69 KachelY + 1 102 0.24543693 -1.26354343 14.062500 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24834516--1.26354343) × R
    0.01519827 × 6371000     		dl = 96828.1781699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24834516--1.26354343) × R
    0.01519827 × 6371000     		dr = 96828.1781699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.24543693) × cos(-1.24834516) × R
    0.04908739 × 0.316892347631675 × 6371000     		do = 99103.5697103241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.24543693) × cos(-1.26354343) × R
    0.04908739 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 94584.2197223558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24834516)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316892347631675-0.302441330058417)×R²
    abs(0.24543693-0.19634954)×0.0144510175732575×R²
    0.04908739×0.0144510175732575×6371000²
    0.04908739×0.0144510175732575×40589641000000     		ar = 9377398398.0467m²