Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67999 / 68638
↖ ↑ ↗
← S  8.488672°
E  6.764831°		 ← 302.08 m → S  8.488672°
E  6.767578°		 →
↑
302.05 m
↓
↑
302.05 m
↓
S  8.491388°
E  6.764831°		 ← 302.08 m →
91 243 m²		 S  8.491388°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518795013427734 y=0.523670196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518795013427734 × 217)
    floor (0.518795013427734 × 131072)
    floor (67999.5)     		tx = 67999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523670196533203 × 217)
    floor (0.523670196533203 × 131072)
    floor (68638.5)     		ty = 68638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67999 / 68638 ti = "17/67999/68638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67999/68638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67999 ÷ 217
    67999 ÷ 131072     		x = 0.518791198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68638 ÷ 217
    68638 ÷ 131072     		y = 0.523666381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518791198730469 × 2 - 1) × π
    0.0375823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11806858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523666381835938 × 2 - 1) × π
    -0.047332763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.148700262621414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11806858} λ = 0.11806858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.148700262621414))-π/2
    2×atan(0.861827398073556)-π/2
    2×0.711320529223728-π/2
    1.42264105844746-1.57079632675     		φ = -0.14815527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11806858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.764831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14815527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.488672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67999 KachelY 68638 0.11806858 -0.14815527 6.764831 -8.488672
    Oben rechts KachelX + 1 68000 KachelY 68638 0.11811652 -0.14815527 6.767578 -8.488672
    Unten links KachelX 67999 KachelY + 1 68639 0.11806858 -0.14820268 6.764831 -8.491388
    Unten rechts KachelX + 1 68000 KachelY + 1 68639 0.11811652 -0.14820268 6.767578 -8.491388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14815527--0.14820268) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dl = 302.049109999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14815527--0.14820268) × R
    4.74099999999977e-05 × 6371000     		dr = 302.049109999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11806858-0.11811652) × cos(-0.14815527) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98904506837807 × 6371000     		do = 302.079821902699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11806858-0.11811652) × cos(-0.14820268) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989038068893258 × 6371000     		du = 302.077684079871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14815527)-sin(-0.14820268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98904506837807-0.989038068893258)×R²
    abs(0.11811652-0.11806858)×6.99948481142076e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.99948481142076e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.99948481142076e-06×40589641000000     		ar = 91242.6185080159m²