Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67997 / 72481
↖ ↑ ↗
← S 18.732103°
E  6.759338°		 ← 289.25 m → S 18.732103°
E  6.762085°		 →
↑
289.18 m
↓
↑
289.18 m
↓
S 18.734704°
E  6.759338°		 ← 289.24 m →
83 644 m²		 S 18.734704°
E  6.762085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518779754638672 y=0.552989959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518779754638672 × 217)
    floor (0.518779754638672 × 131072)
    floor (67997.5)     		tx = 67997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552989959716797 × 217)
    floor (0.552989959716797 × 131072)
    floor (72481.5)     		ty = 72481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67997 / 72481 ti = "17/67997/72481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67997/72481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67997 ÷ 217
    67997 ÷ 131072     		x = 0.518775939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72481 ÷ 217
    72481 ÷ 131072     		y = 0.552986145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518775939941406 × 2 - 1) × π
    0.0375518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11797271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552986145019531 × 2 - 1) × π
    -0.105972290039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.33292176786129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11797271} λ = 0.11797271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.33292176786129))-π/2
    2×atan(0.716826270814421)-π/2
    2×0.621929725803186-π/2
    1.24385945160637-1.57079632675     		φ = -0.32693688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11797271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.759338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32693688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.732103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67997 KachelY 72481 0.11797271 -0.32693688 6.759338 -18.732103
    Oben rechts KachelX + 1 67998 KachelY 72481 0.11802065 -0.32693688 6.762085 -18.732103
    Unten links KachelX 67997 KachelY + 1 72482 0.11797271 -0.32698227 6.759338 -18.734704
    Unten rechts KachelX + 1 67998 KachelY + 1 72482 0.11802065 -0.32698227 6.762085 -18.734704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32693688--0.32698227) × R
    4.5390000000034e-05 × 6371000     		dl = 289.179690000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32693688--0.32698227) × R
    4.5390000000034e-05 × 6371000     		dr = 289.179690000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11797271-0.11802065) × cos(-0.32693688) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.947030486443106 × 6371000     		do = 289.247487124507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11797271-0.11802065) × cos(-0.32698227) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.9470159087563 × 6371000     		du = 289.243034723727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32693688)-sin(-0.32698227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947030486443106-0.9470159087563)×R²
    abs(0.11802065-0.11797271)×1.45776868054615e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.45776868054615e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.45776868054615e-05×40589641000000     		ar = 83643.8549023992m²