Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67997 / 68327
↖ ↑ ↗
← S  7.642942°
E  6.759338°		 ← 302.71 m → S  7.642942°
E  6.762085°		 →
↑
302.69 m
↓
↑
302.69 m
↓
S  7.645665°
E  6.759338°		 ← 302.71 m →
91 627 m²		 S  7.645665°
E  6.762085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518779754638672 y=0.521297454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518779754638672 × 217)
    floor (0.518779754638672 × 131072)
    floor (67997.5)     		tx = 67997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.521297454833984 × 217)
    floor (0.521297454833984 × 131072)
    floor (68327.5)     		ty = 68327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67997 / 68327 ti = "17/67997/68327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67997/68327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67997 ÷ 217
    67997 ÷ 131072     		x = 0.518775939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68327 ÷ 217
    68327 ÷ 131072     		y = 0.521293640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518775939941406 × 2 - 1) × π
    0.0375518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11797271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.521293640136719 × 2 - 1) × π
    -0.0425872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.133791886839577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11797271} λ = 0.11797271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.133791886839577))-π/2
    2×atan(0.874772097246791)-π/2
    2×0.718700907376747-π/2
    1.43740181475349-1.57079632675     		φ = -0.13339451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11797271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.759338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13339451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.642942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67997 KachelY 68327 0.11797271 -0.13339451 6.759338 -7.642942
    Oben rechts KachelX + 1 67998 KachelY 68327 0.11802065 -0.13339451 6.762085 -7.642942
    Unten links KachelX 67997 KachelY + 1 68328 0.11797271 -0.13344202 6.759338 -7.645665
    Unten rechts KachelX + 1 67998 KachelY + 1 68328 0.11802065 -0.13344202 6.762085 -7.645665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13339451--0.13344202) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dl = 302.686210000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13339451--0.13344202) × R
    4.75100000000006e-05 × 6371000     		dr = 302.686210000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11797271-0.11802065) × cos(-0.13339451) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.991116137437698 × 6371000     		do = 302.712379702915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11797271-0.11802065) × cos(-0.13344202) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.991109817524472 × 6371000     		du = 302.710449438741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13339451)-sin(-0.13344202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991116137437698-0.991109817524472)×R²
    abs(0.11802065-0.11797271)×6.31991322641579e-06×R²
    4.79400000000102e-05×6.31991322641579e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×6.31991322641579e-06×40589641000000     		ar = 91626.5708174159m²