Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67996 / 69022
↖ ↑ ↗
← S  9.530332°
E  6.756592°		 ← 301.21 m → S  9.530332°
E  6.759338°		 →
↑
301.16 m
↓
↑
301.16 m
↓
S  9.533040°
E  6.756592°		 ← 301.21 m →
90 711 m²		 S  9.533040°
E  6.759338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518772125244141 y=0.526599884033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518772125244141 × 217)
    floor (0.518772125244141 × 131072)
    floor (67996.5)     		tx = 67996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526599884033203 × 217)
    floor (0.526599884033203 × 131072)
    floor (69022.5)     		ty = 69022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67996 / 69022 ti = "17/67996/69022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67996/69022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67996 ÷ 217
    67996 ÷ 131072     		x = 0.518768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69022 ÷ 217
    69022 ÷ 131072     		y = 0.526596069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518768310546875 × 2 - 1) × π
    0.03753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11792477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526596069335938 × 2 - 1) × π
    -0.053192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.167108032075516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11792477} λ = 0.11792477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.167108032075516))-π/2
    2×atan(0.846108199574665)-π/2
    2×0.70223032997273-π/2
    1.40446065994546-1.57079632675     		φ = -0.16633567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11792477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.756592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16633567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.530332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67996 KachelY 69022 0.11792477 -0.16633567 6.756592 -9.530332
    Oben rechts KachelX + 1 67997 KachelY 69022 0.11797271 -0.16633567 6.759338 -9.530332
    Unten links KachelX 67996 KachelY + 1 69023 0.11792477 -0.16638294 6.756592 -9.533040
    Unten rechts KachelX + 1 67997 KachelY + 1 69023 0.11797271 -0.16638294 6.759338 -9.533040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16633567--0.16638294) × R
    4.72700000000159e-05 × 6371000     		dl = 301.157170000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16633567--0.16638294) × R
    4.72700000000159e-05 × 6371000     		dr = 301.157170000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11792477-0.11797271) × cos(-0.16633567) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986198088608526 × 6371000     		do = 301.210280999822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11792477-0.11797271) × cos(-0.16638294) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986190261026366 × 6371000     		du = 301.207890254748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16633567)-sin(-0.16638294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986198088608526-0.986190261026366)×R²
    abs(0.11797271-0.11792477)×7.82758216033574e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.82758216033574e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.82758216033574e-06×40589641000000     		ar = 90711.2758226981m²