Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67996 / 68956
↖ ↑ ↗
← S  9.351513°
E  6.756592°		 ← 301.37 m → S  9.351513°
E  6.759338°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.354223°
E  6.756592°		 ← 301.36 m →
90 816 m²		 S  9.354223°
E  6.759338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518772125244141 y=0.526096343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518772125244141 × 217)
    floor (0.518772125244141 × 131072)
    floor (67996.5)     		tx = 67996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526096343994141 × 217)
    floor (0.526096343994141 × 131072)
    floor (68956.5)     		ty = 68956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67996 / 68956 ti = "17/67996/68956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67996/68956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67996 ÷ 217
    67996 ÷ 131072     		x = 0.518768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68956 ÷ 217
    68956 ÷ 131072     		y = 0.526092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518768310546875 × 2 - 1) × π
    0.03753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11792477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.05218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.163944196700592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11792477} λ = 0.11792477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163944196700592))-π/2
    2×atan(0.848789385806893)-π/2
    2×0.703790820325211-π/2
    1.40758164065042-1.57079632675     		φ = -0.16321469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11792477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.756592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16321469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.351513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67996 KachelY 68956 0.11792477 -0.16321469 6.756592 -9.351513
    Oben rechts KachelX + 1 67997 KachelY 68956 0.11797271 -0.16321469 6.759338 -9.351513
    Unten links KachelX 67996 KachelY + 1 68957 0.11792477 -0.16326199 6.756592 -9.354223
    Unten rechts KachelX + 1 67997 KachelY + 1 68957 0.11797271 -0.16326199 6.759338 -9.354223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16321469--0.16326199) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16321469--0.16326199) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11792477-0.11797271) × cos(-0.16321469) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986710024498736 × 6371000     		do = 301.366639397921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11792477-0.11797271) × cos(-0.16326199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9867023375703 × 6371000     		du = 301.364291612116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16321469)-sin(-0.16326199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986710024498736-0.9867023375703)×R²
    abs(0.11797271-0.11792477)×7.68692843533536e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.68692843533536e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.68692843533536e-06×40589641000000     		ar = 90815.9707255456m²